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　多様体解説の第１回目です。多様体を学ぶ上で大切なことは座標に依らない性質を学ぶこと、ではありますが、性質が本当に座標に依らないか確認するために異なる座標で試して、同じ性質を得るみたいなことをたくさんやっていくので、座標空間、特にユークリッド空間(軸が垂直に交わっている空間)での知識が必要です。今回からその練習をしていきます。

実数\(x\)の値が決まると、ある実数\(y\)がただ１つ決まるとき、\(y\)は\(x\)の関数といいます。\(y(x)\)などと書いてどの\(x\)に対応する\(y\)の値なのかわかりやすくする表記もあります。また、 \[f:x\mapsto y\] という表記もあります。この場合は、実数の要素(元)\(x\)を決めると、実数の要素\(y\)がただ１つに定まる仕組みを\(f\)と書いていて、\(f\)を写像といいます。実際は\(y=f(x)\)なので、\(y(x)\)と同じように使えます。\(y\)の変化量\(\varDelta y\)と\(x\)の変化量\(\varDelta x\)の関係は \[\varDelta y:=y(x+\varDelta x)-y(x)\] と定めます。\(:=\)は、\(=\)と同じですが、定義するというニュアンスを含みます。

　滑らかな関数であれば、微分をすることができます。 \[\frac{dy}{dx}=\frac{df}{dx}(x):=\lim_{\varDelta x\to0}\frac{f(x+\varDelta x)-f(x)}{\varDelta x}\] と表すことができます。\(xy\)平面上のグラフ\(y=f(x)\)において、微分\(\frac{df}{dx}\)は、グラフの傾きを表すので、十分に小さい変化量\(dx,df\)について、 \[df=\frac{df}{dx}dx\] が成り立ちます。これを\(f\)の全微分といいます。多変数でも見ていきましょう。

　多変数関数の例として熱力学の理想気体を扱ってみます。理想気体の状態方程式は、 \[pV=nRT\] で与えられます。\(p\)圧力、\(V\)は体積、\(n\)は物質量、\(T\)は温度を表します。\(R\)は気体定数という一定の量です。気体の圧力\(p\)は、体積\(V\)、物質量\(n\)、温度\(T\)の関数と見ることもできます。 \[p=p(n,V,T)=\frac{nRT}{V}\] \(n,V,T\gt0\)の３つの変数から正の実数の\(p\)を決めてくれます。 この時圧力\(p\)の変化量\(\varDelta p\)はどのように表すべきか考えていきます。物質量がちょっと\(\varDelta n\)増えれば圧力はちょっと変化するはずです。同様に体積、温度が変化しても圧力が変化するはずですので、 \[\varDelta p=p(n+\varDelta n,V+\varDelta V,T+\varDelta T)-p(n,V,T)\] とするべきですね。(\(n\)は化学変化などで分子が結合、分裂すれば変化します。)

　多変数関数での微小量を表すために偏微分というものを導入します。\(f\)は\(x,y\)の２つの変数に依る実数値関数とします。例えば \[f(x,y)=y\cos x+y^2\] などです。関数\(f\)の\(x\)方向の偏微分は \[\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}:=\lim_{\varDelta x\to0}\frac{f(x+\varDelta x,y)-f(x,y)}{\varDelta x}\] \(x\)以外を定数だと思って微分する操作を言います。先ほどの関数を例にとると、 \[\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=-y\sin x\] \(\cos x\)の係数\(y\)や2項目の\(y^2\)は定数と見ているわけですね。同様に\(y\)の偏微分は、 \[\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=\cos x+2y\]

　先ほどの偏微分を使って多変数関数の微小量を考えていきます。理想気体の圧力の変化量\(\varDelta p\)は、物質量、体積、温度の変化によって生じるので、 \[\varDelta p=p(n+\varDelta n,V+\varDelta V,T+\varDelta T)-p(n,V,T)\] これを次のように変形します。 \[\varDelta p=\frac{p(n+\varDelta n,V+\varDelta V,T+\varDelta T)-p(n,V+\varDelta V,T+\varDelta T)}{\varDelta n}\varDelta n\] \[+\frac{p(n,V+\varDelta V,T+\varDelta T)-p(n,V,T+\varDelta T)}{\varDelta V}\varDelta V\] \[+\frac{p(n,V,T+\varDelta T)-p(n,V,T)}{\varDelta T}\varDelta T\] 変化量を０に近づける極限をとります。第1項目は\(n\)のみを変化させる微分で、第２項目は\(V\)のみを変化させる微分、第３項目は温度\(T\)のみを変化させる微分ですので、偏微分の記号を使って \[dp=\frac{\partial p(n,V,T)}{\partial n}dn+\frac{\partial p(n,V,T)}{\partial V}dV+\frac{\partial p(n,V,T)}{\partial T}dT\] となります。

　一般に\(m\)個の数の組\((x^1,x^2,\cdots,x^m)\)によりスカラー値(ただの数)\(f\in\mathbb{R}\)が決まる場合、\(f\)の全微分は \[df=\frac{\partial f}{\partial x^1}dx^1+\frac{\partial f}{\partial x^2}dx^2+\cdots+\frac{\partial f}{\partial x^m}dx^m\] \(x^m\)は\(x\)の\(m\)乗ではなく\(m\)番目の変数を表す番号です。ややこしくてすいません。3次元直交座標であれば \[(x^1,x^2,x^3)=(x,y,z)\] ですし、球面座標系なら \[(x^1,x^2,x^3)=(r,\theta,\phi)\] です。

　\(x\)を変数とする関数\(f\)があるとします。\(x\)が更に\(t\)を変数とする関数であるとき、\(f\)の\(t\)の微分は \[\frac{df(x(t))}{dt}=\lim_{\varDelta t\to0}\frac{f(x(t+\varDelta t))-f(x(t))}{\varDelta t}\] と表すことができます。これを次のように変形します。 \[\frac{df(x(t))}{dt}=\lim_{\varDelta t\to0}\frac{f(x(t+\varDelta t))-f(x(t))}{x(t+\varDelta t)-x(t)}\frac{x(t+\varDelta t)-x(t)}{\varDelta t}\] この極限をとることで、 \[\frac{df}{dt}=\frac{df}{dx}\frac{dx}{dt}\] 微分は分数ではないですが、約分のような操作ができるということですね。多変数ではこのようには行きません。

　例として万有引力によるポテンシャルエネルギー\(U\)を考えます。 \[U=\frac{GMm}{\sqrt{x^2+y^2}}\] \(GMm\)は定数です。\((x,y)\)は更に\((r,\phi)\)を使って表すことができます。図より \[\begin{matrix}x(r,\phi)=r\cos\phi \\y(r,\phi)=r\sin\phi\end{matrix}\] と分かります。\(U=U(x(r,\phi),y(r,\phi))\)の\(r\)の偏微分を計算してみます。 \[\frac{\partial U(x(r,\phi),y(r,\phi))}{\partial r}\] \[=\lim_{\varDelta r\to0}\frac{U(x(r+\varDelta r,\phi),y(r+\varDelta r,\phi))-U(x(r,\phi),y(r,\phi))}{\varDelta r}\] これを次のように変形します。 \[\frac{\partial U(x(r,\phi),y(r,\phi))}{\partial r}\] \[=\lim_{\varDelta r\to0}\frac{U(x(r+\varDelta r,\phi),y(r+\varDelta r,\phi))-U(x(r,\phi),y(r+\varDelta r,\phi))}{\varDelta r}\] \[+\lim_{\varDelta r\to0}\frac{U(x(r,\phi),y(r+\varDelta r,\phi))-U(x(r,\phi),y(r,\phi))}{\varDelta r}\] 　\(\varDelta x=x(r+\varDelta r,\phi)-x(r,\phi)\)、\(\varDelta y=y(r+\varDelta r,\phi)-y(r,\phi)\)とします。 \[\frac{\partial U(x(r,\phi),y(r,\phi))}{\partial r}\] \[=\lim_{\varDelta r\to0}\frac{U(x(r+\varDelta r,\phi),y(r+\varDelta r,\phi))-U(x(r,\phi),y(r+\varDelta r,\phi))}{x(r+\varDelta r,\phi)-x(r,\phi)}\frac{\varDelta x}{\varDelta r}\] \[+\lim_{\varDelta r\to0}\frac{U(x(r,\phi),y(r+\varDelta r,\phi))-U(x(r,\phi),y(r,\phi))}{y(r+\varDelta r,\phi)-y(r,\phi)}\frac{\varDelta y}{\varDelta r}\] 極限をとって \[\frac{\partial U}{\partial r}=\frac{\partial U}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial U}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r}\] これが多変数の時のチェーンルールです。この式が正しいのか(正しいですが)確かめましょう。\(U\)の\(x,y\)での偏微分は \[\frac{\partial U}{\partial x}=-\frac{GMmx}{\sqrt{x^2+y^2}^3},\ \frac{\partial U}{\partial y}=-\frac{GMmy}{\sqrt{x^2+y^2}^3}\] また、\(x,y\)の\(r\)での偏微分は \[\frac{x}{\partial r}=\cos\phi=\frac{x}{r},\ \frac{x}{\partial r}=\sin\phi=\frac{y}{r}\] 以上から、 \[\frac{\partial U}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial U}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r}=-\frac{GMmx}{\sqrt{x^2+y^2}^3}\frac{x}{r}-\frac{GMmy}{\sqrt{x^2+y^2}^3}\frac{y}{r}\] \[=-\frac{GMm(x^2+y^2)}{r^4}=-\frac{GMm}{r^2}\] 一方ポテンシャルエネルギー\(U\)の極座標表示は、 \[U=\frac{GMm}{r}\] なので、 \[\frac{\partial U}{\partial r}=-\frac{GMm}{r^2}\] となりチェーンルールを使っても使わなくても同じ計算結果が得られましたね。

　一般に点\(p=(x^1,x^2,\cdots,x^m)\)を変数とする関数\(f\)が、点\(q=(y^1,y^2,\cdots,y^n)\)によっても値が１つに定まるとしましょう。\(f\)の\(x^i\)偏微分は、 \[\frac{\partial f}{\partial x^i}=\frac{\partial f}{\partial y^1}\frac{\partial y^1}{\partial x^i}+\frac{\partial f}{\partial y^2}\frac{\partial y^2}{\partial x^i}+\cdots+\frac{\partial f}{\partial y^n}\frac{\partial y^n}{\partial x^i}\] となります。これが一般のチェーンルールになります。たくさん使いますので覚えておきましょう。 \[\frac{\partial f}{\partial x^i}=\sum_{i=1}^n\mathop{\frac{\partial f}{\cancel{\partial y^i}}\frac{{\cancel{\partial y^i}}}{\partial x^i}}_{約分ではないが}=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial y^i}\frac{\partial y^i}{\partial x^i}\] 総和記号を使うとこのようになります。まるで\(\partial y^i\)が約分されているように見えますね。厳密にはチェーンルールで約分ではないのですが、公式として覚えておく分にはそのように計算して問題ないです。

//　補足

　ポテンシャルエネルギーは、\(x,y\)座標で、 \[U(x,y)=\frac{GMm}{\sqrt{x^2+y^2}}\] などと書くことがあります。しかしこの表記は、\(x,y\)軸があって、その\(x,y\)軸の値を読み取って、代入することで、ポテンシャルエネルギーが得られる。という見方をするのが普通です。しかし、現実には\(x,y\)軸がなくともポテンシャルエネルギーは存在していて、空間上の点\(p\)に対応したポテンシャルエネルギーの値が存在するはずです。 \[U:p\mapsto U_p\] 空間の点\(p\)をポテンシャルエネルギー\(U_p\)に対応させる写像を\(U\)としておきます。それを具体的な座標\(\varphi\)を \[\varphi:p\mapsto(x,y)\] 定めることで、\(U(p)=U_p,\ \varphi(p)=(x,y)\)より、 \[U(p)=U(\varphi^{-1}(\varphi(p)))=U(\varphi^{-1}(x,y))\] 具体的な座標を用いた形として関数が得られます。座標を定義する前から関数は定義できて、関数で得られた値を具体的に計算するために座標があるといったイメージです。

終わり//