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　前回接ベクトルというものを扱いました。今回はその接ベクトルの内積を考えていきます。ユークリッド空間でのベクトルの内積は、 \[\vec{a}\cdot\vec{b}=\sum_{i=1}^ma^ib_i\] でした。 \(\vec{b}\cdot\Box\)はベクトル\(\vec{a}\)を実数に写す線形写像という見方をしてみます。実数に写す線形写像という条件のみから、ベクトル\(\vec{a}\)の内積であることが言えます。早速示していきましょう。\(\vec{b}\cdot\Box\)はベクトルを実数に写す線形写像なので、スカラー\(k\)、ベクトル\(\vec{a}_1,\vec{a}_2\)について、 \[\vec{b}\cdot(\vec{a}_1+\vec{a}_2)=\vec{b}\cdot\vec{a}_1+\vec{b}\cdot\vec{a}_2\in\mathbb{R}\] \[\vec{b}\cdot(k\vec{a}_1)=k\vec{b}\cdot\vec{a}_1\in\mathbb{R}\] が成り立ちます。では\(\vec{b}\cdot\Box\)に \[\vec{a}=\sum_{i=1}^ma^ie_i\] を代入してみます。 \[\vec{b}\cdot\vec{a}=\vec{b}\cdot\left(\sum_{i=1}^ma^ie_i\right)\] 線形性から総和記号の各項に\(\vec{b}\cdot\Box\)を分配できます。 \[\vec{b}\cdot\vec{a}=\sum_{i=1}^m\vec{b}\cdot (a^ie_i)\] 線形性から、\(\vec{b}\cdot\Box\)定数\(a^i\)を内積の外に出せます。 \[\vec{b}\cdot\vec{a}=\sum_{i=1}^ma^i\ \vec{b}\cdot e_i\] 定ベクトル\(\vec{b}\cdot\Box:e_i\mapsto b_i\)とすれば内積と変わりないことが分かります。更に双対基底 \[e^j\cdot\Box:e_i\mapsto \delta^j_i\] を定義すれば、 \[\vec{b}\cdot\Box=\sum_{j=1}^mb_je^j\cdot\Box\] とも表すことができます。これを接空間に応用します。

　可微分多様体\(M\)上の点\(p\)の接ベクトル\(X_p\)を実数に写す線形写像を余接ベクトル\(\omega_p\)と定義します。\(\omega_p\)全体の集合を余接空間\(T^*_pM\)とします。 \[\begin{array}{ccccc}\omega_p&:&X_p&\mapsto&\omega_p(X_p)\\ \cssId{rotin}{\in}&&\cssId{rotin}{\in}&&\cssId{rotin}{\in}\\ T^*_pM&\times&T_pM&\to&\mathbb{R}\end{array}\] 余接ベクトルは座標を用いずに定義できました。しかもすでに先ほどの議論から、この写像は内積としての性質を持つことが分かります。具体的な座標を用いれば、\(X_p\)を座標\(\varphi=(x^1,\cdots,x^m)\)を用いて、 \[X_p=\sum_{i=1}^ma^i\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right)_p\] と表すとすれば、線形性から、 \[\omega_{p}\left(\sum_{i=1}^ma^i\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right)_p\right)=\sum_{i=1}^ma^i\omega_p\left(\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right)_p\right)\] \[b^i=\omega_p\left(\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right)_p\right)\] とすれば成分同士の積の総和の定義の内積となります。 \[(dx^j)_p:\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right)_p\mapsto\delta^j_i\] で定義される写像で、接ベクトルの基底に対する双対基底の関係にあります。のように双対ベクトル\((dx^j)_p\)を定義すれば、余接ベクトルは座標を用いて具体的に、 \[\omega_p(\Box)=\sum_{j=1}^mb^j(dx^j)_p(\Box)\] このように表すことができます。\(\Box\)には点\(p\)における接ベクトルを代入することができます。ここに出てくる\((dx^j)_p\)は微小量ではなく、\((dx^j)_p:\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right)_p\mapsto\delta^j_i\)で定義される余接ベクトルの基底ベクトルです。なぜ微小量のような見た目をしているかというと、点\(p\)を含む別のチャートの局所座標\(\varphi_2=(y^1,\cdots,y^m)\)の基底ベクトルは、 \[\left(\frac{\partial}{\partial y^k}\right)_p=\sum_{i=1}^m\frac{\partial x^i}{\partial y^k}(p)\ \left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right)_p\] と変換されます。\((dx^j)_p\)の座標変換は \[(dy^l)_p:=\sum_{j=1}^m\frac{\partial y^l}{\partial x^j}(p)\ (dx^j)_p\] と定義します。これにより\((dx^j)_p:\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right)_p\mapsto\delta^j_i\)座標に依らない良い定義となります。実際に\(\varphi_2\)の座標でも矛盾しない定義か確認してみましょう。 \[(dy^l)_p\left(\left(\frac{\partial}{\partial y^k}\right)_p\right)\] これがクロネッカーのデルタになることを示せばいいので、初めに\(\varphi_1\)の座標を用いて表します。 \[=\sum_{j=1}^m\frac{\partial y^l}{\partial x^j}(p)\ (dx^j)_p\left(\sum_{i=1}^m\frac{\partial x^i}{\partial y^k}(p)\ \left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right)_p\right)\] \(dx^j(\Box)\)は線形写像なので総和記号スカラーの部分を外に出します。 \[=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^m\frac{\partial y^l}{\partial x^j}(p)\ \frac{\partial x^i}{\partial y^k}(p)\ (dx^j)_p\left(\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right)_p\right)\] \[=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^m\delta_j^i\frac{\partial y^l}{\partial y^k}(p)\ \delta^j_i\] \[=\frac{\partial y^l}{\partial y^k}(p)\] 以上から \[(dy^l)_p\left(\left(\frac{\partial}{\partial y^k}\right)_p\right)=\delta^l_k\] 余接ベクトルの基底\((dx^j)_p\)がなぜ微小量のような表記になっているかというと、 \[dy^l=\sum_{j=1}^m\frac{\partial y^l}{\partial x^j}dx^j\] 微小量のチェーンルールと全く同じ変換がなされるからなんですね。