楽しい科学（理論）チャンネル

　実はもう3次微分形式で必要なことはすべてやりました。今回は教本に載っていそうな用語を使って微分形式について振り返っていきます。\(k\)個の接ベクトル\(X_{p,i}\)ベクトルをスカラーに写す線形写像\(f:(X_{p,1},\cdots,X_{p,k})\mapsto\mathbb{R}\)は、座標を用いれば、定数\(f_{\mu_1\cdots\mu_k}\)を用いて \[f(\Box_1,\cdots,\Box_k)=f_{\mu_1\cdots \mu_k}dx^{\mu_1}(\Box_1)\cdots dx^{\mu_k}(\Box_k)\] 縮約記法で総和記号が省略されています。\(\Box_i\)には\(i\)番目の接ベクトルが代入されます。これに交代性を持たせるために、 \[f(\Box_1,\cdots,\Box_k)=\delta_{1\cdots k}^{\rho_1\cdots\rho_k}f_{\mu_1\cdots\mu_k}dx^{\mu_1}(\Box_{\rho_1})\cdots dx^{\mu_k}(\Box_{\rho_k})\] とします。この写像\(f:(X_1,\cdots,X_k)\mapsto\mathbb{R}\)を多様体\(M\)の各点\(p\)で1つだけ定義します。\(f\)にベクトル場\((X_1,\cdots,X_k)\)を代入して得られるスカラー値が多様体上の各点\(p\)に割り当てられている為、これを多様体上の関数 \[f(X_1,\cdots,X_k):p\mapsto f(X_{p,1},\cdots,X_{p,k})\in\mathbb{R}\] とみなせます。これが\(C^r\)級である場合写像\(f\)を微分形式と呼びます。写像を\(f\)ではなく、\(\omega\)と表すことにします。微分形式には専用の基底があり、 \[dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}(\Box_1,\cdots,\Box_k)=\delta_{1\cdots k}^{\rho_{1}\cdots\rho_k}dx^{i_1}(\Box_{\rho_1})\cdots dx^{i_{k}}(\Box_{\rho_k})\] を用います。ただし微分形式の基底は添え字の小さい順に並べるので、 \[\omega(\Box_1,\cdots,\Box_k)=f_{\mu_1\cdots\mu_k}dx^{\mu_1}\wedge\cdots\wedge dx^{\mu_k}(\Box_1,\cdots,\Box_k)\] \(\mu_1,\mu_2\cdots,\mu_k\)を小さい順に並び替えた添え字を、\(\nu_1\lt \nu_2\lt\cdots\lt\nu_k\)として基底を並び替えます。 \[f_{\mu_1\cdots\mu_k}dx^{\mu_1}\wedge\cdots\wedge dx^{\mu_k}=\delta^{\mu_1\cdots\mu_k}_{\nu_1\cdots\nu_k}f_{\mu_1\cdots\mu_k}dx^{\nu_1}\wedge\cdots\wedge dx^{\nu_k}\] となります。添え字に関して交代的なチャート上の関数 \[\omega_{\nu_1\cdots\nu_k}=\sum_{\nu_1=1}^m\cdots\sum_{\nu_k=1}^m\delta^{\mu_1\cdots\mu_k}_{\nu_1\cdots\nu_k}f_{\mu_1\cdots\mu_k}\] を定義することで、\(k\)次微分形式は、 \[\omega=\sum_{\nu_1\lt\cdots\lt\nu_k}\omega_{\nu_1\cdots\nu_k}dx^{\nu_1}\wedge\cdots\wedge dx^{\nu_k}\] と表せます。ここでは別に覚えなくてもいいですが、行列を使って微分形式を記述する教本もあると思うので、一応紹介しておきます。\(k\)次微分形式の基底は別の表記方法として、 \[dx^{\nu_1}\wedge\cdots\wedge dx^{\nu_1}=\mathrm{det}\begin{pmatrix}dx^{\nu_1}(X_1)&\cdots&dx^{\nu_1}(X_k)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ dx^{\nu_k}(X_1)&\cdots&dx^{\nu_k}(X_k)\end{pmatrix}\] とも表せます。行列式の定義から、 \[\mathrm{det}\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}=\delta_{1\cdots n}^{\sigma_1\cdots\sigma_n}a_{1\sigma_1}\cdots a_{n\sigma_n}\] 一方で\(k\)次微分形式の基底は、 \[dx^{\nu_1}\wedge\cdots\wedge dx^{\nu_k}(X_1,\cdots,X_k)=\delta^{\sigma_1\cdots\sigma_k}_{1\cdots k}dx^{\nu_1}(X_{\sigma_1})\cdots dx^{\nu_k}(X_{\sigma_k})\] \(a_{ij}\)の行\(i\)の文字列を\(\nu_1\cdots\nu_k\)にして\(a_{\nu_ij}\)を\(dx^{\nu_i}(X_j)\)に置き換えただけですね。次に微分形式がチャートに依らず、 \[\omega=\sum_{\mu_1\lt\cdots\lt\mu_k}\omega_{\mu_1\cdots\mu_k}dx^{\mu_1}\wedge\cdots\wedge dx^{\mu_k}\] で表せることを示していきます。チャート\(\varphi_i(U_i)=(x^1,\cdots,x^m),\ \varphi_j(U_j)=(y^1,\cdots,y^m)\)が、\(U_i\cap U_j\neq\varnothing\)である場合、共通部分で微分形式が、チャートの関数×ｋ次微分形式の基底の総和で表せることを確認できれば良いので、 \[\omega=\sum_{\mu_1\lt\cdots\lt\mu_k}\omega_{\mu_1\cdots\mu_k}dx^{\mu_1}\wedge\cdots\wedge dx^{\mu_k}\] \(k\)次微分形式の基底を１次微分形式の基底を用いて表します。\(\Box_{\rho}\)は\(\rho\)番目のベクトル場を代入できるスロットです。 \[=\sum_{\mu_1\lt\cdots\lt\mu_k}\omega_{\mu_1\cdots\mu_k}\delta_{1\cdots k}^{\rho_1\cdots\rho_k}dx^{\mu_1}(\Box_{\rho_1})\cdots dx^{\mu_k}(\Box_{\rho_k})\] １次微分形式の基底をそれぞれ座標変換すると、 \[=\sum_{\mu_1\lt\cdots\lt\mu_k}\frac{\partial x^{\mu_1}}{\partial y^{\nu_1}}\cdots\frac{\partial x^{\mu_k}}{\partial y^{\nu_k}}\omega_{\mu_1\cdots\mu_k}\delta_{1\cdots k}^{\rho_1\cdots\rho_k}dy^{\nu_1}(\Box_{\rho_1})\cdots dy^{\nu_k}(\Box_{\rho_k})\] \[=\sum_{\mu_1\lt\cdots\lt\mu_k}\frac{\partial x^{\mu_1}}{\partial y^{\lambda_1}}\cdots\frac{\partial x^{\mu_k}}{\partial y^{\lambda_k}}\omega_{\mu_1\cdots\mu_k}dy^{\lambda_1}\wedge\cdots\wedge dy^{\lambda_k}\] 微分形式の基底の添え字\(\lambda_1\cdots\lambda_k\)は小さい順に並び替えなければなりません。並び替えに出てくる符号を\(\delta^{\lambda_1\cdots\lambda_k}_{\nu_1\cdots\nu_k}\)とすれば、 \[=\sum_{\nu_1\lt\cdots\lt\nu_k}\sum_{\mu_1\lt\cdots\lt\mu_k}\delta^{\lambda_1\cdots\lambda_k}_{\nu_1\cdots\nu_k}\frac{\partial x^{\mu_1}}{\partial y^{\lambda_1}}\cdots\frac{\partial x^{\mu_k}}{\partial y^{\lambda_k}}\omega_{\mu_1\cdots\mu_k}dy^{\nu_1}\wedge\cdots\wedge dy^{\nu_k}\] \[=\sum_{\nu_1\lt\cdots\lt\nu_k}\sum_{\mu_1\lt\cdots\lt\mu_k}\frac{\partial (x^{\mu_1},\cdots,x^{\mu_k})}{\partial (y^{\nu_1}\cdots,y^{\nu_k})}\omega_{\mu_1\cdots\mu_k}dy^{\nu_1}\wedge\cdots\wedge dy^{\nu_k}\] ここで、\(\varphi_j(U_j)\)上の関数、 \[\omega'_{\nu_1\cdots\nu_k}=\sum_{\mu_1\lt\cdots\lt\mu_k}\frac{\partial (x^{\mu_1},\cdots,x^{\mu_k})}{\partial (y^{\nu_1}\cdots,y^{\nu_k})}\omega_{\mu_1\cdots\mu_k}\] を定義すれば、 \[\omega=\sum_{\nu_1\lt\cdots\lt\nu_k}\omega'_{\nu_1\cdots\nu_k}dy^{\nu_1}\wedge\cdots\wedge dy^{\nu_k}\] 座標に依らず関数×基底の総和で微分形式を記述でき、局所座標での微分形式の表記がwell-definedであることが確認できました。

コンパクトで、向き付け可能な\(m\)次元多様体\(M\)について、コンパクトであるとは、 \[M=\bigcup_{i=1}^kU_{i}\] のように有限個の開集合で被覆できる位相空間を言います。向き付け可能とは、\(U_i\cap U_j\neq\varnothing\)であるチャート、 \(\varphi_i(U_i)=(x^1,\cdots,x^m),\ \varphi_j(U_j)=(y^1,\cdots,y^m)\)について座標変換のヤコビアンが常に正を取ることができることを言います。 \[\frac{\partial(x^1,\cdots,x^m)}{\partial(y^1,\cdots,y^m)}\gt0\] １次元多様体であれば右向きや下向きのような日常的な意味の向きと同じことですが、より一般化された概念になっています。ヤコビアンはリーマン和における体積要素の符号と関係していて、ヤコビアンが正であることは、チャートによって積分する際の体積要素の符号が変わらないことをと同じです。\(m\)次元多様体の\(m\)次微分形式の基底の数は、\(_mC_m=1\)個なので、\(\varphi_i(U_i)\)上で、 \[\omega=f_idx^1\wedge\cdots\wedge dx^m\] となります。ただし、\(f_i\)は、チャート上の関数\(f_i:(x^1,\cdots,x^m)\to\mathbb{R}\)です。 コンパクトで向き付け可能な\(m\)次元多様体\(M\)の\(m\)次微分形式\(\omega\)の積分は、 \[\int_{M}\omega:=\sum_{i=1}^k\int_{\varphi_i(U_i)}\phi_i\circ\varphi^{-1}f_idx^1\cdots dx^m\] により定義されます。ただし向き付け可能な多様体であっても座標変換のヤコビアンが常に正になるチャートでかつ有限個の開被覆でアトラス\(\mathcal{S}=\{(\varphi_i,U_i)\}_{i=1}^k\)を構成しなければなりません。\(\phi_i\)は１の分割と呼ばれる多様体上の関数で、開被覆の共通部分で、積分値が重複しないようにかつ被積分関数がなめらかになるようにつないでくれています。微分形式には座標変換によりヤコビアンが現れる性質があり、 \[\int_{U_i\cap U_j}\omega=\int_{\varphi_i(U_i\cap U_j)}f_idx^1\cdots dx^m\] \[=\int_{\varphi_j(U_i\cap U_j)}\frac{\partial(x^1,\cdots,x^m)}{\partial (y^1\cdots,y^m)}f_idy^1\cdots dy^m=\int_{U_i\cap U_j}\omega\] コンパクトかつ向き付け可能であれば、積分範囲となる多様体\(M\)と微分形式\(\omega\)を決定すれば、チャートに依らず積分値\(\int_M\omega\)がただ１つに定まります。そのため積分の定義はwell-definedです。