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クロネッカーのデルタ\(\delta_{\ j}^i\)を一般化します。 　\(m\)この文字列が上下で一致していれば、１となる。 \[\delta^{i_1\cdots i_m}_{i_1\cdots i_m}=1\] 　添え字の交換で符号が変わる。 \[\delta^{i_1\cdots \alpha\cdots\beta\cdots i_m}_{j_1\cdots j_m}=-\delta^{i_1\cdots \beta\cdots \alpha\cdots i_m}_{j_1\cdots j_m}\] または、 \[\delta_{j_1\cdots \alpha\cdots \beta\cdots j_m}^{i_1\cdots i_m}=-\delta_{j_1\cdots \beta\cdots \alpha\cdots j_m}^{i_1\cdots i_m}\] \(i_1,\cdots,i_m\)を\(j_1,\cdots,j_m\)に並び替えられない場合、 \[\delta^{i_1\cdots i_m}_{j_1\cdots j_m}=0\]

添え字\(i\)に添え字\(i_\mu\)が振ってあり見ずらいです。3つ程度の添え字であれば、3つの文字を使ってもいいのですが、任意の\(m\)個の文字を扱いたいので、\(ijkl\cdots\)文字が足りなくなってしまいます。添え字に添え字を振ってこの問題を回避しています。例を見た方がクロネッカーのデルタについて理解できると思います。 \[\delta_{125}^{125}=1\] これはルール１を使いました。 \[\delta_{251}^{125}=-\delta_{152}^{125}\] ルール２より、下の\(1,2\)を交換しました。 \[\delta_{251}^{125}=-\delta_{152}^{125}=\delta_{125}^{125}=1\] ルール２から\(2,5\)を交換して答えは１となります。 \[\delta_{1234}^{1534}=0\] 上下の文字列をルール２で、一致させることはできないので、答えは０です。ルール２は交代性なので、 \[\delta_{1443}^{1434}=0\] 文字列に重複がある今回は下の文字列に３が２個ありと０となります。\(m=1\)の時クロネッカーのデルタも含むので、これから一般的なクロネッカーのデルタを単にクロネッカーのデルタと呼びます。ヤコビアンをクロネッカーのデルタを用いて表すことができます。 \[J=\frac{\partial y^1}{\partial x^1}\frac{\partial y^2}{\partial x^2}-\frac{\partial y^2}{\partial x^1}\frac{\partial y^1}{\partial x^2}\] \[=\delta^{12}_{11}\frac{\partial y^1}{\partial x^1}\frac{\partial y^1}{\partial x^2}+\delta^{12}_{12}\frac{\partial y^1}{\partial x^1}\frac{\partial y^2}{\partial x^2}\] \[+\delta^{12}_{21}\frac{\partial y^2}{\partial x^1}\frac{\partial y^1}{\partial x^2}+\delta^{12}_{22}\frac{\partial y^2}{\partial x^1}\frac{\partial y^2}{\partial x^2}\] \[J=\sum_{i=1}^2\sum_{j=1}^2\delta^{12}_{ij}\frac{\partial y^i}{\partial x^1}\frac{\partial y^j}{\partial x^2}\] もっと変数が多くなるとこの表記法が輝きます！くさび積\(e_1\wedge e_2\wedge e_3 \wedge e_4\)を\(e_3\wedge e_4\wedge e_1 \wedge e_2\)に並び替えます。 \[e_1\wedge e_2\wedge e_3 \wedge e_4=\delta^{1234}_{1234}\ e_1\wedge e_2\wedge e_3 \wedge e_4\] 係数部分に勝手に\(\delta^{1234}_{1234}\)を付けましたが、\(\delta^{1234}_{1234}=1\)なので問題ありません。添え字の\(1,3\)を交換します。 \[e_1\wedge e_2\wedge e_3 \wedge e_4=\delta^{3214}_{1234}\ e_3\wedge e_2\wedge e_1 \wedge e_4\] 右辺は、くさび積、クロネッカーのデルタの両方が交代性を持つためマイナスを打ち消します。添え字の\(2,4\)を交換します。 \[e_1\wedge e_2\wedge e_3 \wedge e_4=\delta^{3412}_{1234}\ e_3\wedge e_4\wedge e_1 \wedge e_2\] やはりクロネッカーのデルタ、くさび積、両方とも交代積を持っているため符号は変わりません。よくよく見ると、\(\delta^{3214}_{1432}\)は基底ベクトルの交換によって生じた符号を表していることが分かります。一般に、 \[e_{i_1}\wedge\cdots \wedge e_{i_m}=\underbrace{\delta_{i_1\cdots i_m}^{i_1\cdots i_m}}_{=1}e_{i_1}\wedge\cdots \wedge e_{i_m}\] \[=\delta_{i_1\cdots i_m}^{j_1\cdots j_m}e_{j_1}\wedge\cdots \wedge e_{j_m}\] クロネッカーのデルタは、基底ベクトルの並べ替えの符号を表すのに最適です。 ベクトル\(\vec{a}=(a^1,a^2,a^3),\vec{b}=(b^1,b^2,b^3),\ \vec{c}=(c^1,c^2,c^3)\)が作る平行６面体を表すのにも有効です。 \[(a^1e_1+a^2e_2+a^3e_3)\wedge(b^1e_1+b^2e_2+b^3e_3)\wedge(c^1e_1+c^2e_2+c^3e_3)\] これを展開すれば、 \[=\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3\sum_{k=1}^3(a^ie_i)\wedge(b^je_j)\wedge(c^ke_k)\] このような形の項が、\(3^3\)個出てきます。(実際は、\((a^1e_1)\wedge(b^1e_1)\wedge(c^2e_2)\)のように基底ベクトルが重複する項は０となります。)基底ベクトルの順番が、\(e_1\wedge e_2\wedge e_3\)になるように整理すれば、 \[(a^ie_i)\wedge(b^je_j)\wedge(c^ke_k)=a^ib^jc^ke_i\wedge e_j\wedge e_k=\delta_{ijk}^{123}a^ib^jc^ke_1\wedge e_2\wedge e_3\] これをすべての項について、行えば、 \[\vec{a}\wedge\vec{b}\wedge\vec{c}=\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3\sum_{k=1}^3\delta_{ijk}^{123}a^ib^jc^ke_1\wedge e_2\wedge e_3\] つまり、平行６面体の体積を \[\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3\sum_{k=1}^3\delta_{ijk}^{123}a^ib^jc^k\] で表すことができます。文字列\(i_1,\cdots,i_m\)を\(j_1,\cdots,j_m\)にする並べ替えを\(\sigma\)として、 \[\mathrm{sgn(\sigma)}=\begin{cases}1,&\sigmaが偶置換\\ -1,&\sigmaが奇置換\\ 0,&置換で一致しない\end{cases}\] という記号を使ったりもします。偶置換は偶数回の添え字の交換、奇置換は奇数階の添え字の交換を表します。どちらも同じ意味です。何をどう入れ替えたのか見やすい、クロネッカーのデルタを使っていきます。

　3次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}^3\)に直交座標\((x^1,x^2,x^3)\)を貼ります。\(\mathbb{R}^3\)上の図形\(M\)を包含する正方形領域\(D\supset M\)を十分に大きい\(a\)を用いて、 \[D=\{(x^1,x^2,x^3)\ |\ ^\forall \mu=1,2,3;\ |x^\mu|\le a,\ a\in\mathbb{R}\}\] 定義します。 \[-a=x^\mu_0\lt x^\mu_1\lt\cdots\lt x^\mu_n=a\] \(D\)を\(n^3\)個に分割します。分割した線分を\(\varDelta x^\mu_i=x^\mu_i-x^\mu_{i-1}\)とします。\(\mathbb{R}^3\)上の関数\(f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}\)の３重積分は、 \[\int_Mfdx^1dx^2dx^3:=\lim_{n\to\infty}\sum_{(x^1_i,x^2_j,x^3_k)\in M}f_{ijk}\varDelta x^1_i\varDelta x^2_j\varDelta x^3_k\] と定義されます。ただし、\(f_{ijk}\)は\(\varDelta x^1_i,\varDelta x^2_j,\varDelta x^3_k\)の間での\(f\)の値です。新たな座標\((y^1,y^2,y^3)\)について \[\varphi^1:(y^1,y^2,y^3)\to x^1(y^1,y^2,y^3)\] \[\varphi^2:(y^1,y^2,y^3)\to x^2(y^1,y^2,y^3)\] \[\varphi^3:(y^1,y^2,y^3)\to x^2(y^1,y^2,y^3)\] このように座標変換されるとします。点\(P(x^1,x^2,x^3)\)の位置ベクトルを\((y^1,y^2,y^3)\)を変数として、 \[\overrightarrow{OP}(y^1,y^2,y^3)=\sum_{i=1}^3x^i(y^1,y^2,y^3)e_i\] とします。\(\varDelta y^1\)だけずらした変化量ベクトル\(\varDelta\boldsymbol{y}^1\)は、 \[\varDelta\boldsymbol{y}^1=\overrightarrow{OP}(y^1+\varDelta y^1,y^2,y^3)-\overrightarrow{OP}(y^1,y^2,y^3)\] \[\varDelta\boldsymbol{y}^1=\sum_{i=1}^3\frac{x^i(y^1+\varDelta y^1,y^2,y^3)-x^i(y^1,y^2,y^3)}{\varDelta y^1}\varDelta y^1e_i\] \(\varDelta y^1\)が十分に小さいとして、偏微分を用いて、 \[\varDelta\boldsymbol{y}^1\simeq\sum_{i=1}^3\frac{\partial x^i}{\partial y^1}\varDelta y^1e_i\] と表せます。同様にして、 \[\varDelta\boldsymbol{y}^2\simeq\sum_{j=1}^3\frac{\partial x^j}{\partial y^2}\varDelta y^2e_j,\ \varDelta\boldsymbol{y}^3\simeq\sum_{k=1}^3\frac{\partial x^k}{\partial y^3}\varDelta y^3e_k\] この３つのベクトルが作る平行６面体の体積を求めます。 \[\begin{align}&\varDelta\boldsymbol{y}^1\wedge\varDelta\boldsymbol{y}^2\wedge\varDelta\boldsymbol{y}^3 \\=&\left(\frac{\partial x^1}{\partial y^1}\frac{\partial x^2}{\partial y^2}\frac{\partial x^3}{\partial y^3}-\frac{\partial x^1}{\partial y^1}\frac{\partial x^2}{\partial y^3}\frac{\partial x^3}{\partial y^2}-\frac{\partial x^1}{\partial y^2}\frac{\partial x^2}{\partial y^1}\frac{\partial x^3}{\partial y^3}\right. \\&\left. +\frac{\partial x^1}{\partial y^2}\frac{\partial x^2}{\partial y^3}\frac{\partial x^3}{\partial y^1}+\frac{\partial x^1}{\partial y^3}\frac{\partial x^2}{\partial y^1}\frac{\partial x^3}{\partial y^2}-\frac{\partial x^1}{\partial y^3}\frac{\partial x^2}{\partial y^2}\frac{\partial x^3}{\partial y^1}\right) \\&\varDelta y^1\varDelta y^2\varDelta y^3e_1\wedge e_2\wedge e_3\end{align}\] そのまま展開すると計算量がすごいですが、クロネッカーのデルタを用いて、平行６面体の体積は、\(\sum_i\sum_j\sum_k\delta^{123}_{ijk}a^ib^jc^k\)と表せるので、 \[\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3\sum_{k=1}^3\delta^{123}_{ijk}\frac{\partial x^i}{\partial y^1}\varDelta y^1\frac{\partial x^j}{\partial y^2}\varDelta y^2\frac{\partial x^k}{\partial y^3}\varDelta y^3\] \[=\underbrace{\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3\sum_{k=1}^3\delta^{123}_{ijk}\frac{\partial x^i}{\partial y^1}\frac{\partial x^j}{\partial y^2}\frac{\partial x^k}{\partial y^3}}_{=J}\varDelta y^1\varDelta y^2\varDelta y^3\] これが\((y^1,y^2,y^3)\)の座標での体積要素となります。\(J\)と書いた部分が３次元でのヤコビアンとなります。\(M\)を平行６面体で敷き詰めようとすると隙間ができますが、変化量\(\varDelta y^{\nu}\)を小さくしていけば全体として隙間の体積も小さくなっていくとして、\(M\)上での関数\(f\)の積分は、それぞれの座標で、 \[\int_{M}fdx^1dx^2dx^3=\int_{M}fJdy^1dy^2dy^3\] となります。3次元での積分も座標変換でヤコビアンが付きます。

　もう実は\(n\)重積分や、一般的なヤコビアンの定義示しませんが見せるだけ見せておきます。微分形式を用いて全く同じ結果を導出することになるので、その時のお楽しみとします。\(n\)重積分は、\(n\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}^n\)に直交座標\((x^1,\cdots,x^n)\)を取ります。\(n\)次元の図形\(N\)上での関数\(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\)の積分は、 \[\int_Nfdx^1\cdots dx^n:=\lim_{\varDelta x^\mu\to0}\sum_{(x^1,\cdots,x^n)\in N}f_{i_1\cdots i_m}\varDelta x^1_{i_1}\cdots \varDelta x^n_{i_n}\] と定義されます。新たな座標\(y^1,\cdots,y^n\)を取り、座標変換のヤコビアンを \[J:=\frac{\partial(x^1,\cdots,x^n)}{\partial(y^1,\cdots,y^n)}\] \[:=\sum_{\mu_1=1}^n\cdots\sum_{\mu_1=1}^n\delta_{\mu_1\cdots\mu_n}^{1\cdots n}\frac{\partial x^{\mu_1}}{\partial y^1}\cdots\frac{\partial x^{\mu_n}}{\partial y^n}\] と定義します。積分の座標変換は \[\int_Nfdx^1\cdots dx^n=\int_NfJdy^1\cdots dy^n\] このようになります。