楽しい科学（理論）チャンネル

　この章では交代テンソルを用いて逆行列について学んでいきます。テンソルという概念に寄り道しますが、返って最小限の知識で、逆行列を導出できていると思います。

行列はもともとベクトル\(\vec{x}=(x^1,x^2,x^3)\)からベクトル\(\vec{y}=(y^1,y^2,y^3)\)を求める連立方程式から始まります。\(x^2\)は\(x\)の2乗ではなく２番目の成分という意味です。２乗とややこしくてすいません。 \[\begin{pmatrix}y^1\\y^2\\y^3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a x^1+b x^2+cx^3\\ dx^1+ex^2+fx^3\\ gx^1+hx^2+ix^3\end{pmatrix}\] \(\vec{x}\)について解くとどのような形になるのか？そもそも解があるのか？それは、連立方程式の係数 \[\begin{pmatrix}a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i\end{pmatrix}\] から知ることができます。この係数を並べたものを行列といいます。

行列の横(行)、縦(列)の並んでいる数の個数が等しいものを正方行列といいます。\(n\times n\)の大きさの正方行列を特に\(n\)次正方行列といいます。行列の数を\(a,b,c\cdots\)としているとアルファベットが足りなくなるので、 \[A=\begin{pmatrix}A^1_{\ 1}&\cdots&A^1_{\ n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ A^n_{\ 1}&\cdots&A^n_{\ n} \end{pmatrix}\] このように添え字という小さい数字を文字につけて区別します。私はいつもどっちが行？、どっちが列？なのかわからなくなってしまうので、独特な覚え方ですが、列のﾘが縦線２本列が縦だ！と覚えました。

　行列\(A\)とベクトル\(\vec{x}\)について、その積を \[A\vec{x}=\begin{pmatrix}A^1_{\ 1}&\cdots&A^1_{\ n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ A^n_{\ 1}&\cdots&A^n_{\ n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x^1\\\vdots\\x^n \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}A^1_{\ 1}x^1+\cdots+A^1_{\ n}x^n\\ \vdots\\ A^n_{\ 1}x^1+\cdots+A^n_{\ n}x^n \end{pmatrix}\] と定義します。これにより連立方程式 \[\begin{pmatrix}y^1\\\vdots\\y^n \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}A^1_{\ 1}x^1+\cdots+A^1_{\ n}x^n\\ \vdots\\ A^1_{\ n}x^1+\cdots+A^n_{\ n}x^n \end{pmatrix}\] を単純に \[\vec{y}=A\vec{x}\] と表すことができます。\(\vec{x}\)が行ベクトル、列ベクトルなのかで、\(\vec{x}A\)や\(A\vec{x}\)など表記ゆれがあります。このページでは、\(A\vec{x}\)とします。

行列\(A\)によってベクトル\(\vec{x}\)からベクトル\(\vec{y}\)が得られたとします。更に行列\(B\)によりベクトル\(y\)からベクトル\(\vec{z}\)が得られたとします。 \[\vec{y}=A\vec{x}\] \[\vec{z}=B\vec{y}\] 実は\(\vec{y}\)を計算しなくても行列\(BA:\vec{x}\mapsto\vec{z}\)をうまく定義することで\(\vec{x}\)を一撃で\(\vec{z}\)に写すことができます。残念ながら行列の積を \[BA=\begin{pmatrix}B^1_{\ 1}A^1_{\ 1}&\cdots&B^1_{\ n}A^1_{\ n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ B^1_{\ n}A^1_{\ n}&\cdots&B^n_{\ n}A^n_{\ n} \end{pmatrix}\] とは定義されていません。 \[\vec{z}=BA\vec{x}\] となる行列\(BA\)を求めてみましょう。ベクトル\(\vec{y}\)は、 \[\begin{pmatrix}y^1\\\vdots\\y^n \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}A^1_{\ 1}x^1+\cdots+A^1_{\ n}x^n\\ \vdots\\ A^1_{\ n}x^1+\cdots+A^n_{\ n}x^n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sum_{i=1}^nA^1_{\ i}x^i\\ \vdots\\ \sum_{i=1}^nA^n_{\ i}x^i \end{pmatrix}\] と表すことができます。つまりベクトル\(\vec{y}\)の成分は、 \[y^j=A^j_{\ 1}x^1+\cdots+A^j_{\ n}x^n\] です。\(j\)は\(1\)から\(n\)のどれかの自然数です。同様にして、\(\vec{z}\)は、 \[\begin{pmatrix}z^1\\\vdots\\z^n \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}B^1_{\ 1}y^1+\cdots+B^1_{\ n}y^n\\ \vdots\\ B^n_{\ 1}y^1+\cdots+B^n_{\ n}y^n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sum_{j=1}^nB^1_{\ j}y^j\\ \vdots\\ \sum_{j=1}^nB^n_{\ j}y^j \end{pmatrix}\] ここに\(x^i\)を用いて表した\(y^j\)を代入すれば、 \[=\begin{pmatrix}\sum_{j=1}^nB^1_{\ j}(A^j_{\ 1}x^1+\cdots+A^j_{\ n}x^n)\\ \vdots\\ \sum_{j=1}^nB^n_{\ j}(A^j_{\ 1}x^1+\cdots+A^j_{\ n}x^n)\end{pmatrix}\] \[=\begin{pmatrix}(\sum_{j=1}^nB^1_{\ j}A^j_{\ 1})x^1+\cdots+(\sum_{j=1}^nB^1_{\ j}A^j_{\ n})x^n\\ \vdots\\ (\sum_{j=1}^nB^n_{\ j}A^j_{\ 1})x^1+\cdots+(\sum_{j=1}^nB^n_{\ j}A^j_{\ n})x^n \end{pmatrix}\] これを行列とベクトル\(\vec{x}\)の積に直すと \[=\begin{pmatrix}\sum_{j=1}^nB^1_{\ j}A^j_{\ 1}&\cdots&\sum_{j=1}^nB^1_{\ j}A^j_{\ n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \sum_{j=1}^nB^n_{\ j}A^j_{\ 1}&\cdots&\sum_{j=1}^nB^n_{\ j}A^j_{\ n}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x^1\\\vdots\\x^n\end{pmatrix}\] これにより、行列積\(BA\)が求まりました。 \[BA=\begin{pmatrix}\sum_{j=1}^nB^1_{\ j}A^j_{\ 1}&\cdots&\sum_{j=1}^nB^1_{\ j}A^j_{\ n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \sum_{j=1}^nB^n_{\ j}A^j_{\ 1}&\cdots&\sum_{j=1}^nB^n_{\ j}A^j_{\ n}\end{pmatrix}\] \(\vec{y}\)を経由せず直接\(\vec{x}\)から行列\(BA\)により、\(\vec{z}\)が得られますね。数字の掛け算のように\(AB=BA\)ならないことに注意しましょう。例えば、 \[A=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}1&2\\1&0\end{pmatrix}\] について、 \[AB=\begin{pmatrix}A^1_{\ 1}B^1_{\ 1}+A^1_{\ 2}B^2_{\ 1}&A^1_{\ 1}B^1_{\ 2}+A^1_{\ 2}B^2_{\ 2}\\ A^2_{\ 1}B^1_{\ 1}+A^2_{\ 2}B^2_{\ 1}&A^2_{\ 1}B^1_{\ 2}+A^2_{\ 2}B^2_{\ 2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&2\\ 1&0\end{pmatrix}\] \[BA=\begin{pmatrix}B^1_{\ 1}A^1_{\ 1}+B^1_{\ 2}A^2_{\ 1}&B^1_{\ 1}A^1_{\ 2}+B^1_{\ 2}A^2_{\ 2}\\ B^2_{\ 1}A^1_{\ 1}+B^2_{\ 2}A^2_{\ 1}&B^2_{\ 1}A^1_{\ 2}+B^2_{\ 2}A^2_{\ 2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\ 1&-1\end{pmatrix}\] となりますので、行列\(A,B\)については、一般に\(AB\neq BA\)です。行列積は"積"という文字が入っていますが、交換則は成り立ちません。実数の積とは全く別の演算となります。