楽しい科学（理論）チャンネル

　これからやる行列式の図形的理解のために寄り道します。３次元空間で２つのベクトル\(\vec{a}=(a_1,a_2,a_3),\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)\)が作る平行四辺形の面積を求めてみます。２ベクトルの間の角を\(\theta\in(0,\frac{\pi}{2})\)とすれば、内積の性質から \[\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\] \(0\lt\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}\)より、 \[\sin\theta=\sqrt{1-\frac{(\vec{a}\cdot\vec{b})^2}{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2}}\] 平行四辺形の底辺を\(|\vec{b}|\)とすれば、高さは、\(|\vec{a}|\sin\theta\)なので、面積\(S\)は、 \[S=|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta=\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2}\] 後はゴリゴリ計算するしかないです。 \[S^2=(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)\] \[-(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2\] \[=(a_1^2b_1^2+a_1^2b_2^2+a_1^2b_3^2+a_2^2b_1^2+a_2^2b_2^2+a_2^2b_3^2+a_3^2b_1^2+a_3^2b_2^2+a_3^2b_3^2)\] \[-(a_1^2b_1^2+a_2^2b_2^2+a_3^2b_3^2+2a_1b_1a_2b_2+2a_2b_2a_3b_3+2a_3b_3a_1b_1)\] \[=a_1^2b_2^2+a_1^2b_3^2+a_2^2b_1^2+a_2^2b_3^2+a_3^2b_1^2+a_3^2b_2^2\] \[-(2a_1b_1a_2b_2+2a_2b_2a_3b_3+2a_3b_3a_1b_1)\] \[=a_1b_2(a_1b_2-a_2b_1)-a_1b_3(a_3b_1-a_1b_3)\] \[-a_2b_1(a_1b_2-a_2b_1)+a_2b_3(a_2b_3-a_3b_2)\] \[+a_3b_1(a_3b_1-a_1b_3)-a_3b_2(a_2b_3-a_3b_2)\] \[(a_1b_2-a_2b_1)^2+(a_2b_3-a_3b_2)^2+(a_3b_1-a_1b_3)^2\] やっと終わりました。このシリーズで一番大変な計算つまり山場を越えました。特に\(a_3=b_3=0\)とすれば平面上の平行四辺形の面積となり、 \[S_{xy}=|a_1b_2-a_2b_1|\] です。ここで、\(\vec{S}\)を \[\vec{S}=\begin{pmatrix}a_2b_3-a_3b_2\\ a_3b_1-a_1b_3\\ a_1b_2-a_2b_1\\ \end{pmatrix}\] と定義します。 \[\vec{S}\cdot\vec{a}=a_1a_2b_3-a_1a_3b_2+a_2a_3b_1\] \[-a_1a_2b_3+a_1a_3b_2-a_2a_3b_1=0\] \[\vec{S}\cdot\vec{b}=a_2b_1b_3-a_3b_1b_2+a_3b_1b_2\] \[-a_1b_2b_3+a_1b_2b_3-a_2b_1b_3\] つまり、\(\vec{S}\)は\(\vec{a},\vec{b}\)両方に垂直であり、平行四辺形\(S\)に垂直なベクトルとなります。大きさは\(|\vec{S}|=S\)です。新たにベクトル\(\vec{c}=(c_1,c_2,c_3)\)を用意します。３つのベクトル\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\)が作る平行６面体の体積\(V\)を求めてみます。平行四辺形\(S\)を底面として、その高さは\(h\)、\(\vec{S}\)と\(\vec{c}\)の間の角を\(\gamma\)とすれば、 \[h=|\vec{c}||\cos\gamma|=|\vec{c}|\frac{|\vec{c}\cdot\vec{S}|}{|\vec{c}||\vec{S}|}=\frac{|\vec{c}\cdot\vec{S}|}{|\vec{S}|}\] 以上から、 \[V=Sh=\left|\begin{pmatrix}a_2b_3-a_3b_2\\ a_3b_1-a_1b_3\\ a_1b_2-a_2b_1\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{pmatrix}\right|\] \[=|a_1b_2c_3-a_2b_1c_3+a_3b_1c_2-a_1b_3c_2+a_2b_3c_1-a_3b_2c_1|\]

　ベクトル\(\vec{a}=(a_1,a_2),\ \vec{b}=(b_1,b_2)\)がなす平行四辺形の面積は、 \[S_{xy}=a_1b_2-a_2b_1\] となります。今回は面積の符号が負になることも認めることにします。これを一般デルタを用いれば、 \[S_{xy}=\delta^{12}_{11} a_1b_1+\delta^{12}_{12}a_1b_2\] \[+\delta^{12}_{21} a_2b_1+\delta^{22}_{12}a_2b_2\] と表せますね？\(\delta^{12}_{11},\delta^{12}_{22}\)を含む項は上下の添え字が置換不可能なので、０になり、平行四辺形の面積に一致します。更に総和記号を使えば、 \[S_{xy}=\sum_{i=1}^2\sum_{j=1}^2\delta^{12}_{ij}a_ib_j=\delta^{12}_{ij}a_ib_j\] とてもシンプルに表現できますね。ベクトル\(\vec{a}=(a_1,a_2,a_3),\ \vec{b}=(b_1,b_2,b_3),\vec{c}=(c_1,c_2,c_3)\)がなす平行6面体の体積は、 \[V=a_1b_2c_3-a_2b_1c_3+a_3b_1c_2-a_1b_3c_2+a_2b_3c_1-a_3b_2c_1\] となります。これを一般デルタを用いることで、 \[=\delta_{123}^{123}a_1b_2c_3+\delta^{123}_{132}a_1b_3c_2+\delta^{123}_{213}a_2b_1c_3\] \[+\delta^{123}_{231}a_2b_3c_1+\delta^{123}_{312}a_3b_1c_2+\delta^{123}_{321}a_3b_2c_1\] 総和記号を使うと、 \[V=\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3\sum_{k=1}^3\delta^{123}_{ijk}a_ib_jc_k=\delta^{123}_{ijk}a_ib_jc_k\] となります。総和記号により、\(3^3\)通りの項が出てきますが、\(\delta^{123}_{112}\)など共通した添え字の項は\(0\)となり、\(i,j,k\)が\(1,2,3\)と並び替え可能な\(3!\)個の項だけ残ります。

\(n\)次正方行列 \[A=\begin{pmatrix}A^1_{\ 1}&\cdots&A^1_{\ n} \\\vdots&\ddots&\vdots \\A^n_{\ 1}&\cdots&A^n_{\ n}\end{pmatrix}\] について行列式\(\det A\)を \[\det A=\det\begin{pmatrix}A^1_{\ 1}&\cdots&A^1_{\ n} \\\vdots&\ddots&\vdots \\A^n_{\ 1}&\cdots&A^n_{\ n}\end{pmatrix}=\delta_{1\cdots n}^{i_1\cdots i_n}A^1_{\ i_1}\cdots A^n_{\ i_n}\] によって定義します。定義から行列を縦で区切った\(n\)個のベクトル \[\begin{pmatrix}A^1_{\ 1}\\ \vdots \\A^n_{\ 1}\end{pmatrix},\cdots, \begin{pmatrix}A^1_{\ n}\\ \vdots \\A^n_{\ n}\end{pmatrix}\] が作る超平行6面体の体積の体積であることが分かります。\(n\)次正方行列の行列式の一般デルタの下付き添え字\(1\cdots n\)は列の数と等しいです。行列の成分\(A^\mu_{\ \nu}\)の上付き添え字とは関係ないので注意しましょう。

　行列\(A\)の行と列を入れ替える操作を転置といいます。転置された行列を転置行列\(^tA\)と呼びます。 \[A=\begin{pmatrix}A^1_{\ 1}&\cdots&A^1_{\ n} \\\vdots&\ddots&\vdots \\A^n_{\ 1}&\cdots&A^n_{\ n}\end{pmatrix}\] に対して、 \[^tA=\begin{pmatrix}A^1_{\ 1}&\cdots&A^n_{\ 1} \\\vdots&\ddots&\vdots \\A^1_{\ n}&\cdots&A^n_{\ n}\end{pmatrix}\] です。行列式\(\det A\)の総和記号を解いたうち\(0\)でないの任意の1項に着目します。 \[\det A=\sum_{i_1=1}^n\cdots\sum_{i_n=1}^n\delta_{1\cdots n}^{i_1\cdots i_n}A^1_{\ i_1}\cdots A^n_{\ i_n}\] \[=\cdots+\underbrace{\delta_{1\cdots n}^{p_1\cdots p_n}A^1_{\ p_1}\cdots A^n_{\ p_n}}_{任意の１項}+\cdots\] ここで、\((p_1,\cdots,p_n)\)を\((1,\cdots,n)\)に\(k\)回で並び替えられたとして、並び替える操作を\(\sigma\)とします。 \[\sigma:(p_1,\cdots,p_n)\mapsto(1,\cdots,n)\] さらに、 \[\sigma:(1,\cdots,n)\mapsto(q_1,\cdots,q_n)\] であったとしましょう。ここで、\((q_1,\cdots,q_n)\)が具体的にどのような並びになっているかは分からなくていいです。任意の１項の一般デルタの上下の添え字に操作\(\sigma\)を行います。\(2k\)回符号が変わるので、符号は変わりません。 \[\delta_{1\cdots n}^{p_1\cdots p_n}A^1_{\ p_1}\cdots A^n_{\ p_n}=\delta^{1\cdots n}_{q_1\cdots q_n}A^1_{\ p_1}\cdots A^n_{\ p_n}\] \(A^\mu_{\ \nu}\)の下付き添え字を操作\(\sigma\)で\(A_1,\cdots,A_n\)に並び替えると、上付きも操作\(\sigma\)を受けるので、 \[\delta_{1\cdots n}^{p_1\cdots p_n}A^1_{\ p_1}\cdots A^n_{\ p_n}=\delta^{1\cdots n}_{q_1\cdots q_n}A^{q_1}_{\ 1}\cdots A^{q_n}_{\ n}\] これを\(\det A\)の\(n!\)の項すべてに行います。その総和は、 \[\det A=\delta_{j_1\cdots j_n}^{1\cdots n}A^{j_1}_{\ 1}\cdots A^{j_n}_{\ n}\] となります。一方転置行列\(^tA\)の行列式は、 \[\det\ ^t A=\delta_{j_1\cdots j_n}^{1\cdots n}A^{j_1}_{\ 1}\cdots A^{j_n}_{\ n}\] なので、行列式\(\det A\)と転置の行列式\(\det\ ^t A\)は一致します。これから行または列に関して証明した行列式の性質は、行と列に両方で成り立ちます。

行列式は列の入れ替えに対して交代性があります。示すのは簡単ですが、若干ごちゃつきます。 \[\det\begin{pmatrix}A^1_{\ 1}&\cdots&A^1_{\ \alpha}&\cdots&A^1_{\ \beta}&\cdots&A^1_{\ n}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A^n_{\ 1}&\cdots&A^n_\alpha&\cdots&A^n_\beta&\cdots&A^n_{\ n}\end{pmatrix}\] \[=\delta^{1\cdots\alpha\cdots\beta\cdots n}_{i_1\cdots i_\alpha\cdots i_\beta\cdots i_n}A^{i_1}_{\ 1}\cdots A^{i_\alpha}_{\ \alpha}\cdots A^{i_\beta}_{\ \beta}\cdots A^{i_n}_{\ n}\] \[=-\delta^{1\cdots\alpha\cdots\beta\cdots n}_{i_1\cdots i_\beta\cdots i_\alpha\cdots i_n}A^{i_1}_{\ 1}\cdots A^{i_\beta}_{\ \beta}\cdots A^{i_\alpha}_{\ \alpha}\cdots A^{i_n}_{\ n}\] \(i_\alpha,i_\beta\)はダミーの添え字なので、付け替えれば、 \[=-\det\begin{pmatrix}A^1_{\ 1}&\cdots&A^1_{\ \beta}&\cdots&A^1_{\ \alpha}&\cdots&A^1_{\ n}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A^n_{\ 1}&\cdots&A^n_\beta&\cdots&A^n_\alpha&\cdots&A^n_{\ n}\end{pmatrix}\] 特に同じ列があれば交代性から、その行列式は0となります。