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逆行列を導出していきます。逆行列\(A^{-1}\)は、\(A:\vec{x}\mapsto \vec{y}\)に対して、 \[A^{-1}:\vec{y}\mapsto\vec{x}\] を満たす行列のことです。逆行列は常に存在するわけではありませんがしばらく存在する場合を想定して話を進めます。行列を線形写像と見た場合、その逆写像にあたるものですね。 \[AA^{-1}=A^{-1}A:\vec{x}\mapsto\vec{x}\] つまりその合成写像は恒等写像(変わらない写像)となります。言い換えると、行列\(A\)と\(A^{-1}\)の行列式は、単位行列となります。クロネッカーのデルタ \[\delta^i_{\ j}=\begin{cases}1&i=j\\0&i\neq j\end{cases}\] を用いて、 \[AA^{-1}=A^{-1}A=\begin{pmatrix}\delta^1_{\ 1}&\cdots&\delta^1_{\ n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \delta^n_{\ 1}&\cdots&\delta^n_{\ n}\end{pmatrix}\] となればよいですね。\(AA^{-1}\)の\(i\)行\(k\)列の成分は\(\delta^j_{\ k}\)であり、行列積の定義から、 \[(AA^{-1})^i_{\ k}=A^i_{\ j}(A^{-1})^j_{\ k}\] でもあります。つまり、 \[A^i_{\ j}(A^{-1})^j_{\ k}=\delta^i_{\ k}\] を満たす\((A^{-1})^j_{\ k}\)を見つけることができれば逆行列を導いたことになります。

(問題)　\(3\times 3\)行列 \[B=\begin{pmatrix}B^1_{\ 1}&B^1_{\ 2}&B^3_{\ 3}\\ B^2_{\ 1}&B^2_{\ 2}&B^2_{\ 3}\\ B^3_{\ 1}&B^3_{\ 2}&B^3_{\ 3}\\ \end{pmatrix}\] について、 \[B^2_{\ j}\tilde{B}^j_{\ k}=\delta^2_{\ k}\det B\] を満たす\(\tilde{B}^j_k\)を求めよ。

(解答例)　行列\(B\)の行列式から \[\det B=\delta_{123}^{j_1jj_3}B^1_{\ j_1}B^2_{\ j}B^3_{\ j_3}=B^2_{\ j}\ \delta_{123}^{j_1jj_3}B^1_{\ j_1}B^3_{\ j_3}\] かなり正解に近い形をしていますね。これを参考に \[\tilde{B}^j_{\ 1}=\delta_{123}^{j_1jj_3}B^2_{\ j_1}B^3_{\ j_3}\] \[\tilde{B}^j_{\ 2}=\delta_{123}^{j_1jj_3}B^1_{\ j_1}B^3_{\ j_3}\] \[\tilde{B}^j_{\ 3}=\delta_{123}^{j_1jj_3}B^1_{\ j_1}B^2_{\ j_3}\] であることが分かります。行列式の交代性から、\(B\)の成分に同じ上付き添え字があれば\(0\)になるので、 \[B^2_j\tilde{B}^j_{\ 1}=\delta_{123}^{j_1jj_3}B^2_{\ j_1}B^2_{\ j}B^3_{\ j_3}=0\] \[B^2_j\tilde{B}^j_{\ 2}=\delta_{123}^{j_1jj_3}B^1_{\ j_1}B^2_{\ j}B^3_{\ j_3}=\det B\] \[B^2_j\tilde{B}^j_{\ 3}=\delta_{123}^{j_1jj_3}B^1_{\ j_1}B^2_{\ j}B^2_{\ j_3}=0\] \(\tilde{B}^j_k\)には、\(B^j_k\)が欠けてた行列式であることが分かります。具体的に\(j=1,k=2\)の場合は、 \[\tilde{B}^1_{\ 2}=\delta_{123}^{j_11j_3}B^1_{\ j_1}B^3_{\ j_3}=-\delta_{123}^{1j_1j_3}B^1_{\ j_1}B^3_{\ j_3}=-\delta_{23}^{j_1j_3}B^1_{\ j_1}B^3_{\ j_3}\] \[=-\det\begin{pmatrix}B^1_{\ 2}&B^1_{\ 3}\\ B^3_{\ 3}&B^3_{\ 2}\end{pmatrix}\] これは、\(j\)列\(k\)行を引き抜いた\(B\)の行列式の符号違いとなっています。

\(n\)次正方行列 \[\begin{pmatrix}A_{11}&\cdots&A_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ A_{n1}&\cdots&A_{nn}\end{pmatrix}\] について、 \[\tilde{A}^j_{\ k}=\delta_{1\cdots n}^{j_1\cdots j_n}A^1_{\ j_1}\cdots \widehat{A^k_{\ j}}\cdots A^n_{\ j_n}\] という２階テンソルを考えます。\(\widehat{A^k_{\ j}}\)は、\(A^k_{\ j}\)が欠けていることを意味します。これに\(A^i_j\)を掛けます。 \[A^i_{\ j}\tilde{A}^j_{\ k}=\delta_{1\cdots n}^{j_1\cdots j_n}A^1_{\ j_1}\cdots A^i_{\ j}\cdots A^n_{\ j_n}=\det A\] 欠落している部分にちょうどハマって行列式となります。 \[A^i_{\ j}\tilde{A}^j_{\ k}=\delta_{1\cdots n}^{j_1\cdots j_n}A^1_{\ j_1}\cdots A^i_{\ l}\cdots A^i_{\ j}\cdots A^n_{\ j_n}=0\] 同じ行が２つある行列式になり\(0\)となります。以上から、逆行列\((A^{-1})^j_{\ k}\)は、\(\det A\neq0\)の場合に限り、 \[(A^{-1})^j_{\ k}=\frac{\tilde{A}^j_{\ k}}{\det A}\] と分かりました。では逆行列の成分を別の形で表してみましょう。 \[\tilde{A}^j_{\ k}=\delta_{1\cdots n}^{j_1\cdots j_n}A^1_{\ j_1}\cdots \widehat{A^k_{\ j}}\cdots A^n_{\ j_n}\] の一般デルタの部分を詳しく見てみましょう。 \[\delta_{1\cdots n}^{j_1\cdots j_n}=\delta_{1\cdots k\cdots n}^{j_1\cdots j\cdots j_n}\] 下付き添え字で\(1,2,\cdots k\)番目の真上に上付き添え字の\(j\)があります。\(j\)を一番左に持ってくるには、\(k-1\)回添え字を交換しなければならないので、 \[\delta_{1\cdots n}^{j_1\cdots j_n}=(-1)^{k-1}\delta_{1\cdots n}^{jj_1\cdots j_n}\] 下付き添え字は\(1\)から\(n\)まで順番に並んでいるので、\(j\)がどこかに入っているはずです。 \[\delta_{1\cdots n}^{j_1\cdots j_n}=(-1)^{k-1}\delta_{1\cdots j\cdots n}^{jj_1\cdots j_n}\] 上付き添え字の\(j\)を下付き添え字の\(j\)の真上まで移動させます。\(j-1\)回添え字を交換しなければならないので、 \[\delta_{1\cdots n}^{j_1\cdots j_n}=(-1)^{k-1+j-1}\delta_{1\cdots j\cdots n}^{j_1\cdots j\cdots j_n}=(-1)^{k+j}\delta_{1\cdots \hat{j}\cdots n}^{j_1\cdots \hat{j}\cdots j_n}\] 以上から、 \[(A^{-1})^j_{\ k}=\frac{(-1)^{k+j}}{\det A}\delta_{1\cdots \hat{j}\cdots n}^{j_1\cdots \hat{j}\cdots j_n}A^1_{\ j_1}\cdots \widehat{A^k_{\ j}}\cdots A^n_{\ j_n}\] \[(A^{-1})^j_{\ k}=\frac{(-1)^{k+j}}{\det A}\det\begin{pmatrix}A^1_{\ 1}&\cdots&\widehat{A^1_{\ j}}&\cdots&A^1_{\ n}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \widehat{A^k_{\ 1}}&\cdots&\widehat{A^k_{\ j}}&\cdots&\widehat{A^k_{\ n}}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A^n_{\ 1}&\cdots&\widehat{A^n_{\ j}}&\cdots&A^n_{\ n}\\ \end{pmatrix}\] ただこの公式は複雑なので、使うことはほぼありません。