このページでは指数関数と対数関数の基本的な考え方を説明していきます。指数関数は $$f:x\to a^x$$ の写像のことです。具体的には、$f(x)=2^x$などですね。いくつか値を入れてみましょう。 $$f(2)=2^2=4,f(3)=2^3=8,f(4)=2^4=16$$ 手計算では、$x$が自然数$1,2,3\cdots$の時しか計算できませんが、$x$が１増えると、×２という考え方または$x$が１つ減るなら÷２するという考え方から $$f(-1)=2^{-2}=\frac{1}{4}$$ $$f(-1)=2^{-1}=\frac{1}{2}$$ $$f(0)=2^0=1$$ $$f(1)=2^1=2$$ $$f(2)=2^2=4$$ $x$が整数の場合まで拡張して写像を考えることができます。今後のためにここで、 $$a^x$$ について、$a$を底、$x$を指数という名を付けておきましょう。$a^3$は$a$を３回かけたもので、$a^2$は$a$を２回かけたものなので、 $$a^3\times a^2=a\times a\times a\times a\times a=a^5$$ と計算できます。一般に $$a^m\times a^n=a^{m+n}$$ が成り立ちます。指数関数の底が同じ数同士の積は指数の足し算で計算できます。$(a^2{)}^3$は$a^2$を３回かけた数なので、 $$(a^2{)}^3=a^2\times a^2\times a^2$$ 底が同じ指数関数は指数の足し算で計算できるので、 $$(a^2{)}^3=a^{2+2+2}=a^{2\times 3}$$ と計算できます。一般に $$(a^n{)}^m=a^{n\times m}$$ が成り立ちます。これを利用して、$9^{1/2}$などが計算できるようになります。 $$9^{\frac{1}{2}}=(3^2{)}^{\frac{1}{2}}=3^{2\times \frac{1}{2}}=3$$ しかし、$2^{1/2},5^{1/2}$などは計算できません。しかし$2^{1/2}$に近い数を探すことはできます。$2^{1/2}$というのは２乗したら２になる数ということなので、$1^2=1$では小さすぎますし、$2^2=4$では大きすぎます。 $$1^2=1$$ $${1.4}^2=1.96$$ $${1.5}^2=2.25$$ $$2^2=4$$ いろいろな数を２乗すると、${1.4}^2=1.96,{1.5}^2=2.25$と２に近い数字を見つけることができます。そのため $$2^{\frac{1}{2}}\simeq 1.4$$ $1.4$くらいの数字なのかなと推測できます。ここまでの話で、$a^x$の指数$x$は$\frac{1}{n},n\in \mathbb{N}$でもよいことが分かります。これで指数$x$を有理数まで拡張できます。例えば、$3^{4/3}$なども扱えますね。 $$3^{\frac{4}{3}}=3^{4\times \frac{1}{3}}=(3^4{)}^{\frac{1}{3}}={81}^{\frac{1}{3}}$$ 3乗して$81$に近い数を探します。 $$4^3=64$$ $${4.3}^3=79.507$$ $${4.4}^3=85.184$$ $${4.5}^3=91.125$$ $$5^3=125$$ $3^{4/3}$は$4.3$と$4.4$の間くらいだとわかりました。一般に有理数$p$を$p=m/n(m,n\in \mathbb{N})$として、 $$(a^p{)}^n=a^{\frac{m}{n}\times n}=a^m$$ なので、$a^p(p\in \mathbb{Q})$は$n$回かけて$a^m$になる数と定義できます。$a^x$の$x$は実数$\mathbb{R}$で良いそうですが、私にはわかりません。

これが指数関数のグラフです。$y=a^x$の$a$が1より大きいか小さいかで、２パターンあります。$a<1$の場合、例えば$f(x)=(1/2{)}^x$などですね。 $$f(1)=\frac{1}{2},f(2)=\frac{1}{4},f(3)=\frac{1}{8}$$ のように減少していく関数になります。次に$a>1$の場合です。例えば$f(x)=2^x$などですね。 $$f(1)=2,f(2)=4,f(3)=8$$ と単調増加の関数になります。$a$が負の数は考えません。複素数の知識が必要になります。

　対数関数は $$f:x\to a^x$$ の逆写像です。 $2^4=16,5^2=25$なので、 $${\log }_{2}16=4,{\log }_{5}25=2$$ などと計算するということですね。対数でも${\log }_a$の$a$を底と呼びます。一般に $${\log }_a{a}^n=n$$ が成り立ちます。他の対数の計算ルールも見ていきましょう。 まずは $${\log }_{a}a=1$$ です。$a^1=a$なので、この式が成り立ちます。これにより $${\log }_2{2}^2+{\log }_{2}5$$ が計算できます。 $${\log }_2{2}^2+{\log }_2{2}^5=2{\log }_{2}2+5{\log }_2$$ $$=2+5=7$$ 素直に計算すればこうなりますが、さらに $$7=7{\log }_{2}2={\log }_2{2}^7$$ $${\log }_2{2}^2+{\log }_2{2}^5={\log }_2{2}^7$$ となります。一般に $${\log }_a{a}^m+{\log }_a{a}^n=m{\log }_{a}a+n{\log }_{a}a$$ $$=(m+n){\log }_{a}a={\log }_a{a}^{m+n}={\log }_a{a}^m{a}^n$$ $${\log }_a{a}^m+{\log }_a{a}^n={\log }_a{a}^m{a}^n$$ $a^m=A,a^n=B$とすると、 $${\log }_{a}A+{\log }_{a}B={\log }_{a}AB$$ これもよく使う計算ですね。${\log }_{a}A$を$n$回足すと、 $$\stackrel{n}{\overbrace{{\log }_{a}A+{\log }_{a}A+{\log }_{a}A+\cdots {\log }_{a}A}}=n{\log }_{a}A={\log }_a{A}^n$$ $$n{\log }_{a}A={\log }_a{A}^n$$ この式も覚えておきましょう。

　これが対数関数のグラフです、対数関数$y={\log }_{a}x$の底$a$が1より大きいか小さいかで２パターンあります。まずは$a<1$の場合です。例えば$f(x)={\log }_{1/2}x$などですね。 $$f(1)=0,f(2)=-1,f(4)=-2,f(64)=-6$$ のように書くこともできます。関数のように単調減少(減り続ける)関数となっています。$x=64$まで進んでも$y=-6$なので、$x$が大きくなると減少量も緩やかになっていきます。次に$a>1$の場合ですね。例えば$f(x)={\log }_{2}x$を例に取ると、 $$f(1)=0,f(2)=1,f(4)=2,f(64)=6$$ となります。こちらは単調増加の関数となっています。$a<1$に比べ増加する関数になっていますが、$x$が大きくなるとグラフが緩やかになるのは一緒ですね。