ハミルトニアン\(H\)という物理量を \[H:=\dot x\frac{\partial L}{\partial\dot x}+\dot y\frac{\partial L}{\partial\dot y}-L(x,y,\dot x,\dot y,t)\] のように定義する。これから式が長くなるので、縮約を使った表記にする。 \[H=\dot x_i\frac{\partial L}{\partial\dot x_i}-L(x_i,\dot x_i,t)\] ハミルトニアン\(H\)の前微分を求めてみよう。 \[dH=\frac{\partial L}{\partial\dot x_i}d\dot x_i+\dot x_id\left(\frac{\partial L}{\partial\dot x_i}\right)-dL\] ラグランジアン\(L(x_i,\dot x_i,t)\)は\(x_i,\dot x_i,t\)を変数に持つので、 \[dH=\frac{\partial L}{\partial\dot x_i}d\dot x_i+\dot x_id\left(\frac{\partial L}{\partial\dot x_i}\right)-\frac{\partial L}{\partial x_i}dx_i-\frac{\partial L}{\partial\dot x_i}d\dot x_i-\frac{\partial L}{\partial t}dt\] \[dH=\dot x_id\left(\frac{\partial L}{\partial\dot x_i}\right)-\frac{\partial L}{\partial x_i}dx_i-\frac{\partial L}{\partial t}dt\] きれいに、\(d\dot x_i\)の項が消える。オイラーラグランジュ方程式 \[\frac{\partial L}{\partial x_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot x_i}=0\] を第２項目に使用すると \[dH=\dot x_id\left(\frac{\partial L}{\partial\dot x_i}\right)-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot x_i}dx_i-\frac{\partial L}{\partial t}dt\] 運動量\(p_i\) \[p_i:=\frac{\partial L}{\partial \dot x_i}\] を用いると、 \[dH=\dot x_idp_i-\dot p_idx_i-\frac{\partial L}{\partial t}dt\] 以上から、ハミルトニアンの前微分は\(x_i,p_i,t\)の微小量によって表せるため\(H=H(x_i,p_i,t)\)の変数で記述できるはず。それぞれの偏微分は \[\frac{\partial H}{\partial p_i}=\dot x_i\] \[\frac{\partial H}{\partial x_i}=-\dot p_i\] \[\frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t}\] である。１つ目、２つ目の式には正準方程式という名前が付いている。系をラグランジアンで記述したときオイラー・ラグランジュ方程式が運動方程式を表していたが、ハミルトニアンを使った場合は、正準方程式が運動方程式を表す。

＊＊ルジャンドル変換＊＊

　ハミルトニアン\(H\)を \[H:=\dot x_ip_i-L(x_i,\dot x_i,t)\] で定義する。ハミルトニアンを用いることで、変数\(\dot x_i\)の代わりに\(p_i\)を変数として系の運動を記述できる。 \[L=L(x_i,\dot x_i,t),\ H=H(x_i,p_i,t)\]

　このように別の変数を使って関数を作る技をルジャンドル変換というらしい。詳しいこと分かりません。なんでわざわざこんなめんどくさいことをしてハミルトニアンを得たのか、と思うかもしれない。本当の目的は、変数を\(\dot x_i\)から\(p_i\)に変更することではないと筆者は考えている。時間発展対称性はある系でのラグランジアン\(L\)と運動量\(p_i\)は \[L(x_i,\dot x_i)=\frac{1}{2}m\dot x_i^2-U(x_i),\ p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot x_i}=m\dot x_i\] であるからハミルトニアンは、 \[H=\dot x_ip_i-\left(\frac{1}{2}m\dot x_i^2-U(x_i)\right)\] \[=\frac{1}{m}p_i^2-\left(\frac{1}{2m}p_i^2-U(x_i)\right)\] \[H(x_i,p_i)=\frac{1}{2m}p_i^2+U(x_i)\] なんとハミルトニアンは力学的エネルギーと同じ形を取る。ラグランジアンのような意味不明な物理量を使わなくとも、力学的エネルギーのイメージで扱えるのがハミルトニアンということだ。力学的エネルギー\(E\)は時間発展対称性が無くては考えることができないが、ハミルトニアンはもっと広く扱える。

＊＊正準方程式＊＊

　ハミルトニアン\(H(x_i,p_i,t)\)について以下の式が成り立つ。 \[\frac{\partial H}{\partial p_i}=\dot x_i\] \[\frac{\partial H}{\partial x_i}=-\dot p_i\]

　例として \[H(x,p)=\frac{1}{2m}p^2+mgx\] のようなハミルトニアンの正準方程式は、 \[\frac{\partial H}{\partial p}=\frac{p}{m}=\dot x,\ p=m\dot x\tag{1}\] \[\frac{\partial H}{\partial x}=mg=-\dot p,\ mg=-\frac{d}{dt}p\tag{2}\] である。(1)式を(2)式に代入すると、 \[mg=-\frac{d}{dt}(m\dot x)\] \[m\ddot x=-mg\] 確かに正準方程式は、力学で言う運動方程式を表している。量子力学ではハミルトニアンをよく用いられる。