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直流電流の直列RLC回路

今回は直流、交流の電気回路で、電気抵抗R、ソレノイドL、コンデンサーCを扱う。電気回路に使うケーブルも物質なので、電気抵抗がある。そのためどの回路にも電気抵抗を付けて議論していく。それぞれの回路の電流を求めていく。
まずは直流電流で、一番左の回路は ΔV=VR+VL RILdIdtΔV=0, dIdtLRIΔVR=0 X=IΔVLとおくと、 dXdtLRX=0, X=C1eLRt 以上から、 I=C1eLRt+ΔVL 真ん中の回路は ΔV=VR+VC, ΔV=RI+QC 両辺を時間で微分しRで割ると、 dIdt+1RCI=0 I=C1e1RCt
RL回路はソレノイドの磁場が作る逆起電力で始めは、電流が小さいが、増加する指数関数の増え方をする。(実際は電流が極端に大きくなると、電気抵抗がジュール熱を発して電流が無限に大きくなることはない。)RC回路は時間が経つにつれコンデンサーが電荷を蓄えられなくなって電流は減衰する。 直流のRLC回路は複雑である。 ΔV=VR+VC+VL, ΔV=RI+1CQLdIdt 両辺を時間で微分して整理すると、 Ld2Idt2RdIdt1CI=0 解をI=eλtと仮定すると、 Lλ2Rλ1C=0, λ=R±R24LC2L 場合分けが必要になってしまった。R24LC>0の場合、 I=eR2Lt(C1eR24L/C2Lt+C2eR24L/C2Lt) R24LC<0の場合、 I=C1eR2Ltcos(R24L/C2Lt+C2)
電気抵抗Rが大きい場合は減衰して電流は0に落ち着く。Rの値がある程度小さい場合は、振動しながら減衰する。今回2パターンでしか場合分けしなかったが、積分定数の符号も考えると、いろいろなパターンがありそうだ。
蓄電されたコンデンサーCとソレノイドLのみをつないだ回路はどうだろうか。 VC=VL QC=LdIdt 時間で微分し、Lで割ると、 (1)d2Idt2=1LCI これは単振動の方程式ではないか! I(t)=C1cos(1LCt+C2) 両辺にdIを掛けて、(1)式を変形してみよう。まず左辺から、 d2Idt2dI=dI˙dtdIdtdt=ddt(12I˙2)dt 次は右辺 1LCIdI 両辺を(I(t0),I(t))の範囲で積分しよう。 t0td(12I˙2(t))=I(t0)I(t)1LCIdI 12I˙2(t)12I˙2(t0)=12LCI2(t0)12LCI2(t) I(t0)=I0, I˙(t0)=I˙0とすれば 12I˙2+12LCI2=12I˙02+12LCI02 こ...これはエネルギー保存則!このように物理の中の分野が違っていても同じような構造があるのがとても面白い。