/*補足　今回使うベクトル公式

　あるベクトル場\(\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)\)について、回転は \[\nabla\times\boldsymbol{A}=\left(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z}\right)\hat{\boldsymbol{x}}\] \[\left(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x}\right)\hat{\boldsymbol{y}}+\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)\hat{\boldsymbol{z}}\] で表せる。さらに発散を取ると \[\nabla\cdot(\nabla\times\boldsymbol{A})=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z}\right)\] \[+\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x}\right)+\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)\] 偏微分の順番を交換すると \[=\frac{\partial^2 A_z}{\partial x\partial y}-\frac{\partial^2 A_y}{\partial z\partial x}+\frac{\partial^2 A_x}{\partial y\partial z}-\frac{\partial^2 A_z}{\partial x\partial y}+\frac{\partial^2 A_y}{\partial z\partial x}-\frac{\partial^2 A_x}{\partial y\partial z}\] \[\nabla\cdot(\nabla\times\boldsymbol{A})=0\] 任意のベクトル場の回転の発散は0になる。 ベクトル場の回転の回転は \[\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{A})=\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{A})-\nabla^2\boldsymbol{A}\] となります。\(z\)成分のみ計算すると、 \[[\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{A})]_z=\frac{\partial}{\partial x}[\nabla\times\boldsymbol{A}]_y-\frac{\partial}{\partial y}[\nabla\times\boldsymbol{A}]_x\] \[=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x}\right)-\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z}\right)\] \[=\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}\right)-\left(\frac{\partial^2 A_z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 A_z}{\partial y^2}\right)\] ここの変形思いついた人すごい。 \[=\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}\right)-\left(\frac{\partial^2 A_z}{\partial z^2}+\frac{\partial^2 A_z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 A_z}{\partial y^2}\right)\] \[[\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{A})]_z=[\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{A})]_z-[\nabla^2\boldsymbol{A}]_z\] 他の成分についても同様。 任意のスカラー場\(\phi(\boldsymbol{x},t)\)についてスカラー場の勾配の回転も\(\boldsymbol{0}\)になる。 \[\nabla\times(\nabla\phi)=\nabla\times\left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\hat{\boldsymbol{x}}+\frac{\partial \phi}{\partial y}\hat{\boldsymbol{y}}+\frac{\partial \phi}{\partial z}\hat{\boldsymbol{z}}\right)\] \(z\)成分を計算すると \[[\nabla\times(\nabla\phi)]_z=\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial\phi}{\partial y}-\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial\phi}{\partial x}=\boldsymbol{0}\] 他の成分も同様なので、 \[\nabla\times(\nabla\phi)=\boldsymbol{0}\]

/*終わり

　今回はマクスウェル方程式をもっと変数の少ない形に変えられるかというお話。電磁気の方程式は電場\(\boldsymbol{E}=(E_x\ E_y\ E_z)\)、磁束密度\(\boldsymbol{B}=(B_x\ B_y\ B_z)\)、電荷密度\(\rho\)、電流密度\(\boldsymbol{j}=(j_x\ j_y\ j_z)\)のように10個もの独立な変数による方程式である。もう一度マクスウェル方程式を載せておこう。

＊＊マクスウェルの方程式　\(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}\)表示＊＊

　1.ガウス法則(電気) \[\nabla\cdot\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)=\rho(\boldsymbol{x},t)\] 　2.ガウスの法則(磁気) \[\nabla\cdot\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)=0\] 　3.アンペールの法則 \[\nabla\times\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)=\mu_0\boldsymbol{j}(\boldsymbol{x},t)+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}\] 　4.ファラデーの法則 \[\nabla\times\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)=-\frac{\partial\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}\]

ただし光速\(c=1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}\)である。ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)\)を\(\boldsymbol{B}=\nabla\times\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)\)を満たすベクトル場とすると、 \[\nabla\cdot\boldsymbol{B}=\nabla\cdot(\nabla\times\boldsymbol{A})=0\] なのでベクトルポテンシャル\(\boldsymbol{A}\)はガウスの法則(磁気)を満たす。

スカラーポテンシャルを\(\phi(\boldsymbol{x},t)\)を\(\boldsymbol{E}_q(\boldsymbol{x},t)=-\nabla\phi(\boldsymbol{x},t)\)を満たすスカラー場とする。\(\boldsymbol{E}_q\)は電荷が作り出すクーロン電場で、磁場により誘起される誘導電場\(\boldsymbol{E}_m\)はまた別で考えなければならない。クーロン電場は電位\(V(\boldsymbol{x},t)\)を用いて \[\boldsymbol{E}_q(\boldsymbol{x},t)=-\nabla V(\boldsymbol{x},t)\] 表せるので、これと同じものとみなしてもよい。電場はクーロン電場、誘導電場の和なので \[\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)=\boldsymbol{E}_q(\boldsymbol{x},t)+\boldsymbol{E}_m(\boldsymbol{x},t)\] ４のファラデーの法則を使うことで、誘導電場\(\boldsymbol{E}_m\)を求めることができる。 \[\nabla\times\boldsymbol{E}=-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}\] \[\nabla\times(\boldsymbol{E}_q+\boldsymbol{E}_m)=-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}\] \[\nabla\times\nabla\phi+\nabla\times\boldsymbol{E}_m=-\frac{\partial(\nabla\times\boldsymbol{A})}{\partial t}\] \[0+\nabla\times\boldsymbol{E}_m=-\nabla\times\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}\] この結果から積分定数の不定性を無視(積分定数を０とすると) \[\boldsymbol{E}_m=-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}\] となる。(この両辺の積分の不定性は次回に回そう。)

＊＊スカラーポテンシャル、ベクトルポテンシャル＊＊

　スカラーポテンシャル\(\phi(\boldsymbol{x},t)\)、ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)\)を用いて電場、磁束密度を次のように表せる。 \[\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)=\nabla\times\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)\] \[\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)=-\nabla\phi-\frac{\partial\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}\]

　３のアンペールの法則は、スカラーポテンシャルと、ベクトルポテンシャルを使うと、 \[\nabla\times\boldsymbol{B}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t}=\mu_0\boldsymbol{j}\] \[-\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{A})-\frac{1}{c^2}\frac{\partial(\nabla\phi)}{\partial t}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\boldsymbol{A}}{\partial t^2}=-\mu_0\boldsymbol{j}\] \[-\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{A})+\nabla^2\boldsymbol{A}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial(\nabla\phi)}{\partial t}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\boldsymbol{A}}{\partial t^2}=-\mu_0\boldsymbol{j}\] \[\left(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\boldsymbol{A}-\nabla\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t}+\nabla\cdot\boldsymbol{A}\right)=-\mu_0\boldsymbol{j}\tag{1}\] １のガウスの法則(電気)は、 \[\nabla\cdot\boldsymbol{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}\] \[\nabla\cdot\left(-\nabla\phi-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}\right)=\frac{\rho}{\epsilon_0}\] \[\left(\nabla^2\phi+\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot\boldsymbol{A})\right)=-\frac{\rho}{\epsilon_0}\] (1)式に似た形にすると、 \[\left(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\frac{\phi}{c}+\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial \phi}{\partial t}+\nabla\cdot\boldsymbol{A}\right)=-\frac{\rho}{c\epsilon_0}\] \[\left(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\frac{\phi}{c}+\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial \phi}{\partial t}+\nabla\cdot\boldsymbol{A}\right)=-\mu_0c\rho\tag{2}\] 4次元的な表記をしないとあまりきれいな形に見えないかもしれないがが(1)(2)がベクトルポテンシャル、スカラーポテンシャルを使ったマクスウェル方程式である。

＊＊電磁ポテンシャルを使ったマクスウェル方程式＊＊

　スカラーポテンシャル\(\phi(\boldsymbol{x},t)\)、ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)\)を用いて4つのマクスウェル方程式は次の２つの方程式で表せる。 \[\left(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\boldsymbol{A}-\nabla\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t}+\nabla\cdot\boldsymbol{A}\right)=-\mu_0\boldsymbol{j}\] \[\left(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\frac{\phi}{c}+\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial \phi}{\partial t}+\nabla\cdot\boldsymbol{A}\right)=-\mu_0c\rho\]