スカラーポテンシャル\(\phi(\boldsymbol{x},t)\)、ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)\)を \[\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)=\nabla\times\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)\] \[\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)=-\nabla\phi(\boldsymbol{x},t)-\frac{\partial \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}\] が成り立つ関数とした。この関係さえ成り立っていればどのような\(\phi,\boldsymbol{A}\)でもよい。今回のゲージ変換というのは電磁ポテンシャルはどれくらい自由にとっていいのかという話である。まずはベクトルポテンシャル\(\boldsymbol{A}\)は任意のスカラー場\(\chi\)を使い \[\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)\mapsto\boldsymbol{A}'(\boldsymbol{x},t)=\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)+\nabla\chi(\boldsymbol{x},t)\] のように変換すれば、磁束密度は不変になるはず。 \[\boldsymbol{B}'=\nabla\times\boldsymbol{A}'\] \[=\nabla\times\boldsymbol{A}+\nabla\times(\nabla\chi)=\boldsymbol{B}\] 次に電場を不変にする変換がパッと思い浮かばないのでスカラーポテンシャル\(\phi\)を任意のスカラー場\(u\)を使い \[\phi(\boldsymbol{x},t)\mapsto\phi'(\boldsymbol{x},t)=\phi(\boldsymbol{x},t)+u(\boldsymbol{x},t)\] のように変換する。電場を不変にするように\(u\)を決める。 \[\boldsymbol{E}'=-\nabla\phi'-\frac{\partial\boldsymbol{A}'}{\partial t}\] \[=-\nabla\phi-\nabla u-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}-\frac{\partial(\nabla \chi)}{\partial t}=-\nabla\phi-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}-\nabla\left(u+\frac{\partial\chi}{\partial t}\right)\] \[\boldsymbol{E}'=\boldsymbol{E}-\nabla\left(u+\frac{\partial \chi}{\partial t}\right)\] 最後の式の第2項目が一定(今回は0にする。)になれば電場は不変に保たれる。

＊＊ゲージ変換＊＊

　スカラーポテンシャル\(\phi(\boldsymbol{x},t)\)、ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)\)について、任意のスカラー場\(\chi(\boldsymbol{x},t)\)を使い \[\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)\mapsto\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)+\nabla \chi(\boldsymbol{x},t)\] \[\phi(\boldsymbol{x},t)\mapsto\phi(\boldsymbol{x},t)-\frac{\partial\chi(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}\] とした変換に対して\(\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t),\ \boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)\)は不変である。

　有名なゲージ変換でローレンツゲージというものがある。 \[\left(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\chi+\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t}+\nabla\cdot\boldsymbol{A}\right)=0\] このようにゲージ条件を選ぶことで、 \[\frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi'}{\partial t}+\nabla\cdot\boldsymbol{A'}\] \[=\frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}\left(\phi-\frac{\partial \chi}{\partial t}\right)+\nabla\cdot(\boldsymbol{A}+\nabla\chi)\] \[=\left(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\chi+\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t}+\nabla\cdot\boldsymbol{A}\right)=0\] つまり、 \[\frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t}+\nabla\cdot\boldsymbol{A}=0\] とできる。これによりマクスウェル方程式は \[\left(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\frac{\phi}{c}=-\mu_0c\rho\] \[\left(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\boldsymbol{A}=-\mu_0\boldsymbol{j}\] のようにすっきりした形で書ける。これだけである。ただマクスウェル方程式を解釈しやすくなった。スカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルの意味もローレンツゲージにより明確になる。電荷密度\(\rho\)がある所にはクーロン電場由来のスカラーポテンシャルの勾配つまり電場が湧き出す。電流密度\(\boldsymbol{j}\)がある所には、ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol{A}\)の発散の発散つまり誘導電場、誘導磁場由来がある。

＊＊ローレンツゲージのマクスウェル方程式＊＊

\[\frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t}+\nabla\cdot\boldsymbol{A}=0\] のゲージ条件を取ることでマクスウェル方程式は以下のように記述できる。 \[\left(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\frac{\phi}{c}=-\mu_0c\rho\] \[\left(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\boldsymbol{A}=-\mu_0\boldsymbol{j}\]