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　前回シュワルツシルト時空を求めました。この時空での測地線方程式を見てきます。前回求めたクリストッフェルの記号は、 \[\Gamma^0_{\ 0r}=\Gamma^0_{\ r0}=\frac{\partial_rg_{00}}{2g_{00}}=\frac{1}{2}\frac{d\alpha}{dr}\] \[\Gamma^r_{\ 00}=-\frac{\partial_rg_{00}}{2g_{rr}}=\frac{1}{2}\frac{d\alpha}{dr}e^{\alpha-\beta}\] \[\Gamma^r_{\ rr}=\frac{\partial_rg_{rr}}{2g_{rr}}=\frac{1}{2}\frac{d\beta}{dr}\] \[\Gamma^r_{\ \theta\theta}=-\frac{\partial_rg_{\theta\theta}}{2g_{rr}}=-re^{-\beta}\] \[\Gamma^r_{\ \phi\phi}=-\frac{\partial_rg_{\phi\phi}}{2g_{rr}}=-r\sin^2\theta\ e^{-\beta}\] \[\Gamma^\theta_{\ r\theta}=\Gamma^\theta_{\ \theta r}=\frac{\partial_rg_{\theta\theta}}{2g_{\theta\theta}}=\frac{1}{r}\] \[\Gamma^\theta_{\ \phi\phi}=-\frac{\partial_\theta g_{\phi\phi}}{2g_{\theta\theta}}=-\sin\theta\cos\theta\] \[\Gamma^\phi_{\ r\phi}=\Gamma^\phi_{\ \phi r}=\frac{\partial_rg_{\phi\phi}}{2g_{\phi\phi}}=\frac{1}{r}\] \[\Gamma^\phi_{\ \phi\theta}=\Gamma^\phi_{\ \theta\phi}=\frac{\partial_\theta g_{\phi\phi}}{2g_{\phi\phi}}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\] ここで出てくる\(\alpha,\beta\)は \[\alpha=\ln\left(1-\frac{r_s}{r}\right),\ \beta=-\ln\left(1-\frac{r_s}{r}\right)\] です。

まず\(\theta\)方向の測地線方程式は、 \[\ddot\theta+\Gamma^\theta_{\ r\theta}\dot{r}\dot{\theta}+\Gamma^\theta_{\ \theta r}\dot\theta\dot{r}+\Gamma^\theta_{\phi\phi}\dot\phi^2=0\] となります。\(\dot{A}\)は\(A\)の固有時\(\tau\)微分を表します。 \[\ddot{\theta}+\frac{2}{r}\dot{r}\dot\theta-\sin\theta\cos\theta\dot\phi^2=0\] \(\theta(\tau),\dot\theta(\tau)\)の初期条件を \[\theta(0)=\frac{\pi}{2},\ \dot\theta(0)=0\] などと決めることで、\(\ddot{\theta}\)をずっと０にすることができますね。この初期条件により運動を\(x,y\)平面に収めることができるので、この条件で以後やっていきます。 \[\Gamma^r_{\phi\phi}=-re^{-\beta},\ \Gamma^\phi_{\phi\theta}=0\] となるので注意が必用です。

　次に\(ct\)方向の測地線方程式です。 \[c\ddot{t}+\Gamma^0_{\ 0r}c\dot{t}\dot{r}+\Gamma^0_{\ r0}\dot{r}c\dot{t}=0\] \[c\ddot{t}+\frac{d\alpha}{dr}\frac{dr}{d\tau}c\dot{t}=0\] 両辺に\(e^\alpha\)を掛けます。 \[e^\alpha\frac{dc\dot{t}}{d\tau}+e^\alpha\frac{d\alpha}{d\tau}c\dot{t}=0\] \[\frac{d}{d\tau}(e^\alpha c\dot{t})=0\] \[e^\alpha c\dot{t}=\left(1-\frac{r_s}{r}\right)c\dot{t}=\mathrm{const.}\] \(\varepsilon:=e^\alpha c\dot{t}\)は\(\tau\)に依らない保存量になっています。

　次に\(\phi\)方向の測地線方程式です。 \[\ddot\phi+\Gamma^\phi_{\ r\phi}\dot{r}\dot\phi+\Gamma^\phi_{\ \phi r}\dot\phi\dot{r}=0\] \[\ddot\phi+\frac{2}{r}\dot{r}\dot\phi=0\] \[\frac{1}{r^2}\left(r^2\frac{d\dot{\phi}}{d\tau}+2r\frac{dr}{d\tau}\dot\phi\right)=0\] \[\frac{1}{r^2}\frac{d}{d\tau}(r^2\dot\phi)=0,\ r^2\dot\phi=\mathrm{const.}\] \(l:=r^2\dot\phi\)は固有時に依らない保存量になっています。

先に固有時\(d\tau\)を計算します。 \[-c^2d\tau^2=g_{00}(cdt)^2+g_{rr}dr^2+r^2d\phi^2\] と表せます。\(\theta=\pi/2\)に固定したので、\(d\theta=0\)です。両辺を\(d\tau\)で割ると、 \[-c^2=-e^\alpha c^2\dot{t}^2+e^\beta \dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2\] 先ほど導いた保存則\(\varepsilon=e^\alpha c\dot{t},l=r^2\dot\phi\)を使います。 \[-c^2=-\varepsilon^2e^{-\alpha}+e^\beta\dot{r}^2+\frac{l^2}{r^2}\] 両辺に\(e^{-\beta}\)を掛けます。\(\alpha=\ln(1+r_s/r),\beta=-\ln(1-r_s/r)\)なので、 \[\dot{r}^2-\varepsilon^2+\left(c^2+\frac{l^2}{r^2}\right)\left(1-\frac{r_s}{r}\right)=0\] \[\dot{r}^2+c^2-\varepsilon^2-\frac{c^2r_s}{r}+\frac{l^2}{r^2}-\frac{l^2r_s}{r^3}=0\] 両辺を固有時\(\tau\)で微分します。 \[2\left(\ddot{r}+\frac{c^2r_s}{2r^2}-\frac{l^2}{r^3}+\frac{3l^2r_s}{2r^4}\right)\dot{r}=0\] \(r_s=2GM/c^2\)を代入します。常に\(\dot{r}=0\)ではないので、 \[\frac{d^2r}{d\tau^2}=-\frac{GM}{r^2}+\frac{l^2}{r^3}-\frac{3l^2GM}{c^2r^4}\tag{1}\] 天体の速度が十分に光速度より小さい場合は\(d\tau\simeq dt\)なので、万有引力の法則と比較できます。(1)式は局所慣性系の等速運動を座標変換しただけの式ですが、これを惑星が太陽から力を受けているとみなして動径方向の見かけの力を求めます。 \[\frac{d^2r}{dt^2}-\frac{l^2}{r^3}=-\frac{GM}{r^2}-\frac{3l^2GM}{c^2r^4}\] \[\frac{d^2r}{dt^2}-r\left(\frac{d\phi}{dt}\right)^2=-\frac{GM}{r^2}-\frac{3l^2GM}{c^2r^4}\] これを万有引力と比べると、 \[\alpha_r=\frac{d^2r}{dt^2}-r\left(\frac{d\phi}{dt}\right)^2=-\frac{GM}{r^2}\] \[\alpha_\phi=\frac{1}{r^2}\frac{d}{dt}\left(r^2\frac{d\phi}{dt}\right)=0\] シュワルツシルト時空の惑星の軌跡を力に依るものと考えると万有引力に加え、4乗に反比例した力を受けていると考えられます。太陽と惑星が近い場合は、４乗の項が無視できなくなるという訳です。古典力学的に偏角方向の加速度が０なのは、\(\phi\)方向の措置線方程式と一緒です。

　(1)式から保存量\(l=r^2\dot{\phi}\)を用いて軌跡を求めていきます。まずは\(r\)の2階\(\tau\)微分を\(\phi\)を使って表します。 \[\frac{dr}{d\tau}=\frac{dr}{d\phi}\frac{d\phi}{d\tau}=\frac{l}{r^2}\frac{dr}{d\phi}=-l\frac{dr^{-1}}{d\phi}\] \[\frac{d}{d\tau}\frac{dr}{d\tau}=-l\frac{d}{d\tau}\frac{dr^{-1}}{d\phi}=-\frac{d}{d\phi}\frac{dr^{-1}}{d\phi}\frac{d\phi}{d\tau}=-\frac{l^2}{r^2}\frac{d^2r^{-1}}{d\phi^2}\] これを(1)式に代入して、 \[\frac{d^2}{d\phi^2}\frac{1}{r}=\frac{GM}{l^2}-\frac{1}{r}+\frac{3GM}{c^2r^2}\tag{2}\] (1)式でもシュワルツシルト時空での軌跡を書くことができますが、４乗に反比例した項があるため、コンピュータを使って軌道を計算する際はこちらの式がいいかもしれません。