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　今回は一般相対性理論で使うテンソルを紹介します。

　リーマン曲率テンソルを導出します。基底ベクトル\(\boldsymbol{e}^\mu\)の\(x^\lambda\)方向の微分はクリストッフェルの記号を用いて \[\partial_\lambda\boldsymbol{e}_\mu=\Gamma_{\ \mu\lambda}^0\boldsymbol{e}_0+\Gamma_{\ \mu\lambda}^1\boldsymbol{e}_1+\Gamma_{\ \mu\lambda}^2\boldsymbol{e}_2+\Gamma_{\ \mu\lambda}^3\boldsymbol{e}_3\] これを\(x^\nu\)方向に微分してみます。 \[\partial_\nu\partial_\lambda\boldsymbol{e}_\mu=\partial_\nu\Gamma_{\ \mu\lambda}^0\boldsymbol{e}_0+\Gamma_{\ \mu\lambda}^0\partial_\nu\boldsymbol{e}_0+\partial_\nu\Gamma_{\ \mu\lambda}^1\boldsymbol{e}_1+\Gamma_{\ \mu\lambda}^1\partial_\nu\boldsymbol{e}_1\] \[+\partial_\nu\Gamma_{\ \mu\lambda}^2\boldsymbol{e}_2+\Gamma_{\ \mu\lambda}^2\partial_\nu\boldsymbol{e}_2+\partial_\nu\Gamma_{\ \mu\lambda}^3\boldsymbol{e}_3+\Gamma_{\ \mu\lambda}^3\partial_\nu\boldsymbol{e}_3\] 基底ベクトルの偏微分は更にクリストッフェルの記号が使えるので、 \[\partial_\nu\partial_\lambda\boldsymbol{e}_\mu= \partial_\nu\Gamma_{\ \mu\lambda}^0\boldsymbol{e}_0+\Gamma_{\ \mu\lambda}^0(\Gamma_{\ \nu0}^0\boldsymbol{e}_0+\Gamma_{\ \nu0}^1\boldsymbol{e}_1+\Gamma_{\ \nu0}^2\boldsymbol{e}_2+\Gamma_{\ \nu0}^3\boldsymbol{e}_3)\] \[+\partial_\nu\Gamma_{\ \mu\lambda}^1\boldsymbol{e}_1+\Gamma_{\ \mu\lambda}^1(\Gamma_{\ \nu1}^0\boldsymbol{e}_0+\Gamma_{\ \nu1}^1\boldsymbol{e}_1+\Gamma_{\ \nu1}^2\boldsymbol{e}_2+\Gamma_{\ \nu1}^3\boldsymbol{e}_3)\] \[+\partial_\nu\Gamma_{\ \mu\nu}^2\boldsymbol{e}_2+\Gamma_{\ \mu\nu}^2(\Gamma_{\ \nu2}^0\boldsymbol{e}_0+\Gamma_{\ \nu2}^1\boldsymbol{e}_1+\Gamma_{\ \nu2}^2\boldsymbol{e}_2+\Gamma_{\ \nu2}^3\boldsymbol{e}_3)\] \[+\partial_\nu\Gamma_{\ \mu\lambda}^3\boldsymbol{e}_3+\Gamma_{\ \mu\lambda}^3(\Gamma_{\ \nu3}^0\boldsymbol{e}_0+\Gamma_{\ \nu3}^1\boldsymbol{e}_1+\Gamma_{\ \nu3}^2\boldsymbol{e}_2+\Gamma_{\ \nu3}^3\boldsymbol{e}_3)\] この式の偏微分の順番を変えて差を取ってみます。 \[\partial_\nu\partial_\lambda\boldsymbol{e}_\mu-\partial_\lambda\partial_\nu\boldsymbol{e}_\mu\] \[=(\partial_\nu\Gamma_{\ \mu\lambda}^0-\partial_\lambda\Gamma_{\ \mu\nu}^0 +\Gamma_{\ \mu\lambda}^0\Gamma_{\ \nu0}^0 +\Gamma_{\ \mu\lambda}^1\Gamma_{\ \nu1}^0 +\Gamma_{\ \mu\lambda}^2\Gamma_{\ \nu2}^0 +\Gamma_{\ \mu\lambda}^3\Gamma_{\ \nu3}^0\] \[-\Gamma_{\ \mu\nu}^0\Gamma_{\ \lambda0}^0 -\Gamma_{\ \mu\nu}^1\Gamma_{\ \lambda1}^0 -\Gamma_{\ \mu\nu}^2\Gamma_{\ \lambda2}^0 -\Gamma_{\ \mu\nu}^3\Gamma_{\ \lambda3}^0 )\boldsymbol{e}_0\] \[+(\partial_\nu\Gamma_{\ \mu\lambda}^1-\partial_\lambda\Gamma_{\ \mu\nu}^1 +\Gamma_{\ \mu\lambda}^0\Gamma_{\ \nu0}^1 +\Gamma_{\ \mu\lambda}^1\Gamma_{\ \nu1}^1 +\Gamma_{\ \mu\lambda}^2\Gamma_{\ \nu2}^1 +\Gamma_{\ \mu\lambda}^3\Gamma_{\ \nu3}^1\] \[-\Gamma_{\ \mu\nu}^0\Gamma_{\ \lambda0}^1 -\Gamma_{\ \mu\nu}^1\Gamma_{\ \lambda1}^1 -\Gamma_{\ \mu\nu}^2\Gamma_{\ \lambda2}^1 -\Gamma_{\ \mu\nu}^3\Gamma_{\ \lambda3}^1 )\boldsymbol{e}_1\] \[+(\partial_\nu\Gamma_{\ \mu\lambda}^2-\partial_\lambda\Gamma_{\ \mu\nu}^2 +\Gamma_{\ \mu\lambda}^0\Gamma_{\ \nu0}^2 +\Gamma_{\ \mu\lambda}^1\Gamma_{\ \nu1}^2 +\Gamma_{\ \mu\lambda}^2\Gamma_{\ \nu2}^2 +\Gamma_{\ \mu\lambda}^3\Gamma_{\ \nu3}^2\] \[-\Gamma_{\ \mu\nu}^0\Gamma_{\ \lambda0}^2 -\Gamma_{\ \mu\nu}^1\Gamma_{\ \lambda1}^2 -\Gamma_{\ \mu\nu}^2\Gamma_{\ \lambda2}^2 -\Gamma_{\ \mu\nu}^3\Gamma_{\ \lambda3}^2 )\boldsymbol{e}_2\] \[+(\partial_\nu\Gamma_{\ \mu\lambda}^3-\partial_\lambda\Gamma_{\ \mu\nu}^3 +\Gamma_{\ \mu\lambda}^0\Gamma_{\ \nu0}^3 +\Gamma_{\ \mu\lambda}^1\Gamma_{\ \nu1}^3 +\Gamma_{\ \mu\lambda}^2\Gamma_{\ \nu2}^3 +\Gamma_{\ \mu\lambda}^3\Gamma_{\ \nu3}^3\] \[-\Gamma_{\ \mu\nu}^0\Gamma_{\ \lambda0}^3 -\Gamma_{\ \mu\nu}^1\Gamma_{\ \lambda1}^3 -\Gamma_{\ \mu\nu}^2\Gamma_{\ \lambda2}^3 -\Gamma_{\ \mu\nu}^3\Gamma_{\ \lambda3}^3 )\boldsymbol{e}_3\] 式が長すぎるので、縮約を使っていきます。分かりずらいかもしれませんが基底ベクトルの添え字について縮約を取ります。上の式を成分ごとに見て基底ベクトルの添え字が増えると増えてる添え字を\(\xi\)とします。 \[\partial_\nu\partial_\lambda\boldsymbol{e}_\mu-\partial_\lambda\partial_\nu\boldsymbol{e}_\mu\] \[=(\partial_\nu\Gamma_{\ \mu\lambda}^\xi-\partial_\lambda\Gamma_{\ \mu\nu}^\xi +\Gamma_{\ \mu\lambda}^0\Gamma_{\ \nu0}^\xi +\Gamma_{\ \mu\lambda}^1\Gamma_{\ \nu1}^\xi +\Gamma_{\ \mu\lambda}^2\Gamma_{\ \nu2}^\xi +\Gamma_{\ \mu\lambda}^3\Gamma_{\ \nu3}^\xi\] \[-\Gamma_{\ \mu\nu}^0\Gamma_{\ \lambda0}^\xi -\Gamma_{\ \mu\nu}^1\Gamma_{\ \lambda1}^\xi -\Gamma_{\ \mu\nu}^2\Gamma_{\ \lambda2}^\xi -\Gamma_{\ \mu\nu}^3\Gamma_{\ \lambda3}^\xi )\boldsymbol{e}_\xi\] クリストッフェルの記号に付いてもう一度縮約が使えますね。 \[\partial_\nu\partial_\lambda\boldsymbol{e}_\mu-\partial_\lambda\partial_\nu\boldsymbol{e}_\mu=(\partial_\nu\Gamma_{\ \mu\lambda}^\xi-\partial_\lambda\Gamma_{\ \mu\nu}^\xi +\Gamma_{\ \mu\lambda}^\rho\Gamma_{\ \nu\rho}^\xi -\Gamma_{\ \mu\nu}^\rho\Gamma_{\ \lambda\rho}^\xi)\boldsymbol{e}_\xi\] 別に要らないかもしれませんが交換子\([X,Y]:=XY-YX\)を使うことで、もっとすっきりします。 \[[\partial_\nu,\partial_\lambda]\boldsymbol{e}_\mu=(\partial_\nu\Gamma_{\ \mu\lambda}^\xi-\partial_\lambda\Gamma_{\ \mu\nu}^\xi +\Gamma_{\ \mu\lambda}^\rho\Gamma_{\ \nu\rho}^\xi -\Gamma_{\ \mu\nu}^\rho\Gamma_{\ \lambda\rho}^\xi)\boldsymbol{e}_\xi\] リーマン曲率テンソルはこの基底ベクトルの係数部分です。 \[[\partial_\nu,\partial_\lambda]\boldsymbol{e}_\mu=R^\xi_{\mu\nu\lambda}\boldsymbol{e}_\xi\] \[R^\xi_{\mu\nu\lambda}=\partial_\nu\Gamma_{\ \mu\lambda}^\xi-\partial_\lambda\Gamma_{\ \mu\nu}^\xi +\Gamma_{\ \mu\lambda}^\rho\Gamma_{\ \nu\rho}^\xi -\Gamma_{\ \mu\nu}^\rho\Gamma_{\ \lambda\rho}^\xi\] です。リーマン曲率テンソルの添え字はどの基底ベクトル\(\mu\)をどの方向\(\nu\)に偏微分して、更にどの方向\(\lambda\)に偏微分し順番を変えたものと差を取った\(\xi\)成分なので、４次元であれば\(4^4=256\)個の成分があります。

　リッチテンソル\(R_{\mu\nu}\)を \[R_{\mu\nu}:=R^\lambda_{\ \mu\nu\lambda}=R^{0}_{\ \mu\nu0}+R^1_{\ \mu1\nu}+R^{2}_{\ \mu\nu2}+R^{3}_{\ \mu\nu3}\] のように定義します。クリストッフェルの記号を使うと \[R_{\mu\nu}=\partial_\nu\Gamma_{\ \mu\lambda}^\lambda-\partial_\lambda\Gamma_{\ \mu\nu}^\lambda +\Gamma_{\ \mu\lambda}^\rho\Gamma_{\ \nu\rho}^\lambda -\Gamma_{\ \mu\nu}^\rho\Gamma_{\ \lambda\rho}^\lambda\] こうなります。リーマン曲率テンソルの１番目、３番目の添え字で縮約をとったテンソルです。更にリッチスカラー\(R\)を \[R:=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}\] \[=g^{00}R_{00}+g^{02}R_{02}+g^{01}R_{01}+g^{02}R_{02}+g^{03}R_{03}\] \[g^{20}R_{20}+g^{12}R_{12}+g^{11}R_{11}+g^{12}R_{12}+g^{13}R_{13}\] \[=g^{20}R_{20}+g^{22}R_{22}+g^{21}R_{21}+g^{22}R_{22}+g^{23}R_{23}\] \[=g^{30}R_{30}+g^{32}R_{32}+g^{31}R_{31}+g^{32}R_{32}+g^{33}R_{33}\] と定義します。リッチスカラーはリッチテンソルと計量テンソルの逆行列で縮約を取ったものです。

ここから４次元に話を元します。アインシュタインテンソル\(G_{\mu\nu}\)は \[G_{\mu\nu}:=R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}\] このように定義されます。運動量エネルギーテンソルは \[T_{\mu\nu}=\left(\rho+\frac{P}{c^2}\right)u_\mu u_\nu+Pg_{\mu\nu}\] となります。アインシュタイン方程式は宇宙空間で運動する銀河系にも定適用できるように流体の方程式になっています。\(\rho\)はその点での密度(=質量/体積)、\(P\)は物質のぶつかりなどで生じるその点での圧力です。これらのテンソルを使った \[G_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}\] これがアインシュタイン方程式方程式です。\(G\)は万有引力定数です。(たぶん)この式自体本当に成立するのか検証が足りていない現状ですが、太陽が作る重力場について、光スペクトルのずれや、光路の湾曲、水星の近日点の移動など、一般相対性理論出なければ説明できない現象があるのも事実です。