原点\(O\)にある質量\(M\)の太陽が重力場を作り質量\(m\)の物体が運動している状況を想定してアインシュタイン方程式を万有引力の法則に帰着させます。

　(1)　相互作用の条件

　球対称な相互作用を仮定します。これは極めて自然な仮定です。物質が原点\(O\)にしか置かれていないので\(x\)軸方向だから強いとか\(x\)軸方向だから右側に力が働くとかは考えません。相互作用として力\(\vec{F}\)が得られた時、力の大きさ\(F\)は太陽との距離\(r\)によって決まります。また力\(\vec{F}\)は動径方向の単位ベクトル\(\boldsymbol{e}_r\)を使って、 \[\vec{F}=F(r)\boldsymbol{e}_r\] と表せます。

　(2)　静的な重力場

　位置\(\vec{r}\)が時間的に変化して、\(\vec{F}\)が変化することはありますが、ある１点での相互作用\(\vec{F}\)は時間に依りません。相互作用ではなく空間の歪みと見た場合には計量テンソルが時間に依らないということでもあります。

　(3)　空間がほぼ平坦で静的

　時空間の歪みがほぼなく計量テンソルは \[g_{\mu\nu}\simeq \begin{cases}-1&(\mu=\nu=0) \\1&(\mu=\nu=x,y,z) \\0&(その他) \end{cases}\] となります。計量テンソルを行列とみなせば対角行列なので逆行列\(g^{\mu\mu}=1/g_{\mu\mu}\)それ以外０になります。 \[g^{\mu\nu}\simeq \begin{cases}-1&(\mu=\nu=0) \\1&(\mu=\nu=x,y,z) \\0&(その他) \end{cases}\] となります。計量テンソルはほぼ定数なので、計量テンソルの微分はとても小さい値になります。そのため計量テンソルの微分の２次以降は０とみなします。 \[\partial_\alpha g_{\mu\nu}\partial_\beta g_{\rho\xi}\simeq0\] 仮定(2)から計量テンソルの時間変化も0となります。 \[\partial_0g_{\mu\nu}=0\]

　(4)　古典力学的条件

　光速度が非常に大きく、物体の速さ\(v\)について\(v/c\simeq0\)とみなせるものとします。固有時\(\tau\)と４元速度\(u^\mu\boldsymbol{e}_\mu\)について、以下の近似を使います。 \[d\tau=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}dt\simeq dt\] \[u^\mu\boldsymbol{e}_\mu=\left(\frac{c}{\sqrt{1-(v/c)^2}},\frac{v^i}{\sqrt{1-(v/c)^2}}\right)\] \[u^\mu\boldsymbol{e}_\mu\simeq(c,v^x,v^y,v^z)\]

　惑星の運動の軌跡を表す測地線方程式からヒントを得てみましょう。空間成分\(i=x,y,z\) \[\frac{du^i}{d\tau}+\Gamma_{\ \nu\rho}^i u^\nu u^\rho=0\] に古典力学的条件を加えて見ます。\(v/c\simeq0\)なので、\(d\tau=dt,u^\mu\boldsymbol{e}_\mu=(c,v^x,v^y,v^z)\)を代入して一度縮約を外します。 \[\frac{dv^i}{dt}+c^2\Gamma_{\ 00}^i+\Gamma_{\ 0x}^icv^x+\Gamma_{\ 0y}^icv^y+\Gamma_{\ 0z}^icv^z\] \[+\Gamma_{\ x0}^iv^xc+\Gamma_{\ xx}^iv^xv^x+\Gamma_{\ xy}^iv^xv^y+\Gamma_{\ xz}^iv^xv^z\] \[+\Gamma_{\ y0}^iv^yc+\Gamma_{\ yx}^iv^yv^x+\Gamma_{\ yy}^iv^yv^y+\Gamma_{\ yz}^iv^yv^z\] \[+\Gamma_{\ z0}^iv^zc+\Gamma_{\ zx}^iv^zv^x+\Gamma_{\ zy}^iv^zv^y+\Gamma_{\ zz}^iv^zv^z=0\] クリストッフェルの記号部分を全て\(c^2\)でくくり出します。\(v^i/c=0\)とみなせるので\(\Gamma^i_{\ 00}\)の項だけ残ります。 \[\frac{dv^i}{dt}=-c^2\Gamma_{\ 00}^i\tag{1}\] \(\Gamma_{\ 00}^i\)を計量テンソルを使って表してみましょう。 \[\Gamma_{\ \nu\rho}^\mu=\frac{1}{2}g^{\mu\xi}(\partial_\nu g_{\xi\rho}+\partial_\rho g_{\xi\nu}-\partial_{\xi}g_{\nu\rho})\] \[\Gamma_{\ 00}^i=\frac{1}{2}g^{i\xi}(\partial_0 g_{\xi0}+\partial_0 g_{\xi0}-\partial_{\xi}g_{00})\] 計量テンソルは時間変化しないので、\(\partial_0g_{\mu\nu}=0\) \[\Gamma_{\ 00}^i=-\frac{1}{2}g^{i\xi}\partial_{\xi}g_{00}\] \[\Gamma_{\ 00}^i=-\frac{1}{2}(g^{i0}\partial_{0}g_{00}+g^{i1}\partial_{1}g_{00}+g^{i2}\partial_{2}g_{00}+g^{i3}\partial_{3}g_{00})\] \(\mu\neq\nu\)ならば\(g^{\mu\nu}=0\)、\(g^{ii}=1\)なので \[\Gamma_{\ 00}^i=-\frac{1}{2}\partial_ig_{00}\] となります。これを(1)式に戻します。 \[\frac{dv^i}{dt}=\frac{c^2}{2}\partial_ig_{00}\] ニュートン力学第２法則、運動方程式から速度の時間微分と質量の積は力と定義されるので \[\vec{F}=m\left(\frac{dv^x}{dt},\frac{dv^y}{dt},\frac{dv^z}{dt}\right)=\frac{mc}{2}^2(\partial_1g_{00},\partial_1g_{00},\partial_1g_{00})\] 便利記号\(\nabla:=(\partial_1,\partial_2,\partial_3)\)を使います。 \[\vec{F}=\frac{mc^2}{2}\nabla g_{00}\] 相対性理論では、局所慣性系での等速直線運動が太陽系を中心とする座標系では歪んで見えて加速度運動に見えています。ニュートン力学の視点では、この加速度運動は何かしらの力(万有引力)ととらえているわけですね。成分で書くと、 \[F^i=\frac{mc^2}{2}\partial_i g_{00}\] となります。

　アインシュタイン方程式は\(16\)個の微分方程式です。\(G_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}\)それぞれに\(g^{\mu\nu}\)を掛けます。エネルギー運動量テンソルは\(T_{00}=\rho c^2\)以外０、\(g^{00}=-1\)なので \[\begin{matrix}g^{00}G_{00}=-\frac{8\pi G}{c^4}\rho c^2&g^{01}G_{01}=0&g^{02}G_{02}=0&g^{03}G_{03}=0 \\g^{10}G_{10}=0&g^{11}G_{11}=0&g^{12}G_{12}=0&g^{13}G_{13}=0 \\g^{20}G_{20}=0&g^{21}G_{21}=0&g^{22}G_{22}=0&g^{23}G_{23}=0 \\g^{30}G_{30}=0&g^{31}G_{31}=0&g^{32}G_{32}=0&g^{33}G_{33}=0 \end{matrix}\] これらの式を全て足します。 \[\sum_{\mu=0}^3\sum_{\nu=0}^3\left(g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg^{\mu\nu}g_{\mu\nu}\right)=-\frac{8\pi G}{c^4}\rho c^2\] \(g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}\)はリッチスカラー\(R\)の定義そのもので、\(g^{\mu\nu}g_{\mu\nu}\)は\(\mu\neq\nu\)なら0で \[\sum_{\mu=0}^3\sum_{\nu=0}^3g^{\mu\nu}g_{\mu\nu}=g^{00}g_{00}+g^{11}g_{11}+g^{22}g_{22}+g^{33}g_{33}\] 対角行列なので\(g^{\mu\nu}=1/g_{\mu\nu}\) \[=\frac{g_{00}}{g_{00}}+\frac{g_{11}}{g_{11}}+\frac{g_{22}}{g_{22}}+\frac{g_{33}}{g_{33}}=4\] これを元の式に代入して \[R-\frac{1}{2}R\times4=-\frac{8\pi G}{c^4}\rho c^2,\ R=\frac{8\pi G}{c^4}\rho c^2\] リッチスカラー\(R\)をアインシュタイン方程式の\(00\)成分に代入すると、 \[R_{00}-\frac{1}{2}Rg_{00}=-\frac{8\pi G}{c^4}\rho c^2\] \[R_{00}-\frac{1}{2}\frac{8\pi G}{c^4}\rho c^2(-1)=-\frac{8\pi G}{c^4}\rho c^2,\ R_{00}=-\frac{4\pi G}{c^2}\rho\tag{2}\] \(R_{00}\)を得ることができました。\(R_{00}\)を計量テンソルを使って表していきます。リッチテンソルは \[R_{\mu\nu}=\partial_\nu\Gamma_{\ \mu\lambda}^\lambda-\partial_\lambda\Gamma_{\ \mu\nu}^\lambda +\Gamma_{\ \mu\lambda}^\rho\Gamma_{\ \nu\rho}^\lambda -\Gamma_{\ \mu\nu}^\rho\Gamma_{\ \lambda\rho}^\lambda\] です。\(00\)成分は \[R_{00}=\partial_0\Gamma_{\ 0\lambda}^\lambda-\partial_\lambda\Gamma_{\ 00}^\lambda +\Gamma_{\ 0\lambda}^\rho\Gamma_{\ 0\rho}^\lambda -\Gamma_{\ 00}^\rho\Gamma_{\ \lambda\rho}^\lambda\] クリストッフェルの記号は計量テンソルの微分で表されます。なのでクリストッフェルの記号の積はとても小さい値になるので、\(\Gamma_{\ 0\lambda}^\rho\Gamma_{\ 0\rho}^\lambda -\Gamma_{\ 00}^\rho\Gamma_{\ \lambda\rho}^\lambda\simeq0\)となります。時間微分\(\partial_0\Gamma^\lambda_{\ 0\lambda}=0\)となるので、 \[R_{00}=-\partial_\lambda\Gamma^\lambda_{\ 00}=-\frac{1}{2}\partial_\lambda [g^{\lambda\rho}(\partial_0g_{\rho0}+\partial_0g_{\rho0}-\partial_\rho g_{00})]\] 計量テンソルは時間に依らないので \[R_{00}=\frac{1}{2}\partial_\lambda (g^{\lambda\rho}\partial_\rho g_{00})\] \(\rho\)の縮約を解きます。\(\rho=0\)だと計量テンソルの時間微分になり０、\(\rho=1,2,3\)だけが値を持つので \[R_{00}=\frac{1}{2}[\partial_{\lambda}(g^{\lambda1}\partial_1g_{00})+\partial_{\lambda}(g^{\lambda2}\partial_2g_{00})+\partial_{\lambda}(g^{\lambda3}\partial_3g_{00})]\] \(\lambda\)の縮約を解きます。 \[R_{00}=\frac{1}{2}[\partial_{0}(g^{01}\partial_1g_{00})+\partial_{0}(g^{02}\partial_2g_{00})+\partial_{0}(g^{03}\partial_3g_{00})\] \[+\partial_{1}(g^{11}\partial_1g_{00})+\partial_{1}(g^{12}\partial_2g_{00})+\partial_{1}(g^{13}\partial_3g_{00})\] \[+\partial_{2}(g^{21}\partial_1g_{00})+\partial_{2}(g^{22}\partial_2g_{00})+\partial_{2}(g^{23}\partial_3g_{00})\] \[+\partial_{3}(g^{31}\partial_1g_{00})+\partial_{3}(g^{32}\partial_2g_{00})+\partial_{3}(g^{33}\partial_3g_{00})]\] 計量テンソルの逆行列は\(g^{\lambda\lambda}=1\)それ以外０なので、 \[R_{00}=\frac{1}{2}(\partial_{1}^2g_{00}+\partial_2^2g_{00}+\partial_3^2g_{00})\tag{3}\] \(R_{00}\)をアインシュタイン方程式、計量テンソルから２通りの表し方ができました。(2)(3)式より、 \[\frac{1}{2}(\partial_{1}^2g_{00}+\partial_2^2g_{00}+\partial_3^2g_{00})=-\frac{4\pi G}{c^2}\rho\] この等式の両辺に\(mc^2\)を掛けてこれを\(F^i=\frac{mc^2}{2}\partial_ig_{00}\)使って表してあげます。 \[\partial_{1}F^x+\partial_2F^y+\partial_3F^z=-4\pi Gm\rho\tag{4}\]

　太陽視点で３次元直交座標を取ります。(4)式の左辺は\(\nabla=(\partial_1,\partial_2,\partial_3)\)と\(\vec{F}=(F^x,F^y,F^z)\)の内積とみなすこともできますね。 \[\nabla\cdot\vec{F}=-4\pi Gm\rho\] ここである瞬間の惑星の位置\(x^i\boldsymbol{e}_i\)を球面に含む領域\(V\)を取ります。領域\(V\)原点を中心とする半径\(r\)の領域です。太陽の体積を\(V_\epsilon\)とします。両辺を領域\(V\)で体積分します。 \[\int_V \nabla\cdot\vec{F}dV=-4\pi Gm\int_V\rho dV\] 惑星は太陽に衝突していないと考えるので\(F^i\)は\(r=0\)では定義されません。ガウスの定理\(\int_V\nabla\cdot\vec{F}dV=\int_{\partial V}\vec{F}\cdot d\boldsymbol{S}\)を用いて体積分を面積分に変えます。密度\(\rho\)は位置の関数になっています。 \[\rho(x,y,z)=\begin{cases}M/V_{\epsilon}&(x,y,z)\in V_{\epsilon} \\0&(x,y,z)\notin V_{\epsilon}\end{cases}\] 太陽の外部では真空なので\(\rho=0\)です。以上より \[\int_{\partial V} \vec{F}\cdot d\boldsymbol{S}=-4\pi Gm\left(\int_{V_{\epsilon}}\frac{M}{V_\epsilon} dV+\int_{V-V_{\epsilon}}0dV\right)\] 面積要素ベクトルは面積の法線ベクトルです。球対称な相互作用を仮定しているので、\(\vec{F}(r)\)は向心力で、動径方向のベクトルとなります。つまり2つのベクトルは平行で\(\vec{F}\cdot d\boldsymbol{S}=|\vec{F}|dS\)球面\(\partial V\)で\(\vec{F}(r)\)はただの定数なので、 \[|\vec{F}|\int_{\partial V}dS=-4\pi Gm\frac{M}{V_\epsilon}V_\epsilon\] \[4\pi r^2|\vec{F}|=-4\pi GMm\] \[\vec{F}=-G\frac{Mm}{r^2}\boldsymbol{e}_r\] 大きく分けて４つもの仮定をしましたが、アインシュタイン方程式が万有引力に帰着しました。ついでですが、計量テンソルの\(00\)成分も求めて見ます。 \[\vec{F}=\frac{mc^2}{2}\nabla g_{00}=-G\frac{Mm}{r^2}\boldsymbol{e}_r\] 位置ベクトルを\(\vec{r}=(x,y,z)\)とすると、\(\boldsymbol{e}_r=\vec{r}/r\)なので、 \[\nabla g_{00}=-\frac{2GM}{c^2r^2}\boldsymbol{e}_r\] ベクトル解析の公式\(\nabla\frac{1}{r}=\frac{\boldsymbol{e}_r}{r^2}\)から、 \[g_{00}=\frac{2GM}{c^2r}+\mathrm{const.}\] 万有引力定数\(G\)はとても小さい定数で、光速度\(c\)は非常に大きい数です。\(2GM/(c^2r)\)はとても小さい数です。\(g_{00}\)は約\(-1\)なので、\(\mathrm{const.}=-1\)と分かります。 \[g_{00}=-1+\frac{2GM}{c^2r}\] これはシュワルツシルト解で使うので覚えておきましょう。