重力場から力を受けて惑星が、楕円軌道のような運動をするのではなく、重力場によりミンコフスキー空間が歪められて、その歪んだ空間を惑星は等速直線運動していると考えよう。この考え方の偉いところはニュートン力学では、重力場で質量をもたない光の経路が変わることが説明できなかったが、歪んだ空間をまっすぐ進むということで説明できたところである。

　ニュートン力学で言う、速度の時間変化がない\(dv/dt=0\)を表す式のようなものを求めてみよう。ミンコフスキー空間で、4元速度\(u^{\mu}\)が一定であるという状態が等速直線運動だということにしよう。 \[u^{\mu}\boldsymbol{e}_{\mu}=\boldsymbol{const.}\] この方程式の固有時\(\tau\)で微分してみる。右辺は定数なので\(\boldsymbol{0}\)になる。縮約を使うとわかりずらいと思うので、ちゃんと書くと \[\sum_{\mu=0}^3\left({\frac{d u^{\mu}}{d\tau}\boldsymbol{e}_{\mu}}+u^{\mu}\frac{d\boldsymbol{e}_{\mu}}{d\tau}\right)=\boldsymbol{0}\] 総和\(\sum\)を外す、基底ベクトルが定ベクトルでない点に注意して、 \[\frac{d u^{0}}{d\tau}\boldsymbol{e}_{0}+\frac{d u^{1}}{d\tau}\boldsymbol{e}_{1}+\frac{d u^{2}}{d\tau}\boldsymbol{e}_{2}+\frac{d u^{3}}{d\tau}\boldsymbol{e}_{3}\] \[+u^0\left(\frac{\partial\boldsymbol{e}_{0}}{\partial x^0}\frac{dx^0}{d\tau}+\frac{\partial\boldsymbol{e}_{0}}{\partial x^1}\frac{dx^1}{d\tau}+\frac{\partial\boldsymbol{e}_{0}}{\partial x^2}\frac{dx^2}{d\tau}+\frac{\partial\boldsymbol{e}_{0}}{\partial x^3}\frac{dx^3}{d\tau}\right)\] \[+u^1\left(\frac{\partial\boldsymbol{e}_{1}}{\partial x^0}\frac{dx^0}{d\tau}+\frac{\partial\boldsymbol{e}_{1}}{\partial x^1}\frac{dx^1}{d\tau}+\frac{\partial\boldsymbol{e}_{1}}{\partial x^2}\frac{dx^2}{d\tau}+\frac{\partial\boldsymbol{e}_{1}}{\partial x^3}\frac{dx^3}{d\tau}\right)\] \[\cdots\] \[+u^3\left(\frac{\partial\boldsymbol{e}_{3}}{\partial x^0}\frac{dx^0}{d\tau}+\frac{\partial\boldsymbol{e}_{3}}{\partial x^1}\frac{dx^1}{d\tau}+\frac{\partial\boldsymbol{e}_{3}}{\partial x^2}\frac{dx^2}{d\tau}+\frac{\partial\boldsymbol{e}_{3}}{\partial x^3}\frac{dx^3}{d\tau}\right)\] \[=\boldsymbol{0}\] クリストッフェルの記号\(\partial_j\boldsymbol{e}_i=\Gamma_{ij}^k\boldsymbol{e}_k\)を使ってみる。また\(dx^\mu/d\tau=u^\mu\)なので \[\frac{d u^{0}}{d\tau}\boldsymbol{e}_{0}+\frac{d u^{1}}{d\tau}\boldsymbol{e}_{1}+\cdots+\frac{d u^{3}}{d\tau}\boldsymbol{e}_{3}\] \[+u^0\sum_{k=0}^3\left(\Gamma_{00}^ku^0\boldsymbol{e}_k+\Gamma_{01}^ku^1\boldsymbol{e}_k+\Gamma_{03}^ku^3\boldsymbol{e}_k\right)\] \[+u^1\sum_{k=0}^3\left(\Gamma_{10}^ku^0\boldsymbol{e}_k+\Gamma_{11}^ku^1\boldsymbol{e}_k+\Gamma_{13}^ku^3\boldsymbol{e}_k\right)\] \[\cdots\] \[+u^3\sum_{k=0}^3\left(\Gamma_{30}^ku^0\boldsymbol{e}_k+\Gamma_{31}^ku^1\boldsymbol{e}_k+\Gamma_{33}^ku^3\boldsymbol{e}_k\right)\] \[=\boldsymbol{0}\] 縮約を取りやすいように基底ベクトルごとにまとめる全てを書き切るには長すぎるので、第\(\mu\)成分を代表して書く。 \[\frac{du^\mu}{d\tau}\boldsymbol{e}_\mu+u^0(\Gamma_{\ 00}^\mu u^0+\Gamma_{\ 01}^\mu u^1+\cdots+\Gamma_{\ 03}^\mu u^3)\boldsymbol{e}_\mu\] \[+u^1(\Gamma_{\ 10}^\mu u^0+\Gamma_{\ 11}^\mu u^1+\cdots+\Gamma_{\ 13}^\mu u^3)\boldsymbol{e}_\mu\] \[\cdots\] \[+u^3(\Gamma_{\ 30}^\mu u^0+\Gamma_{\ 31}^\mu u^1+\cdots+\Gamma_{\ 33}^\mu u^3)\boldsymbol{e}_\mu=\boldsymbol{0}\] \(\Gamma^{k}_{\ ij}\)の\(j\)について縮約を取ると、 \[\left(\frac{du^\mu}{d\tau}+u^0\Gamma_{\ 0\xi}^\mu u^\xi+u^1\Gamma_{\ 1\xi}^\mu u^\xi+\cdots+u^3\Gamma_{\ 3\xi}^\mu u^\xi\right)\boldsymbol{e}_\mu=\boldsymbol{0}\] \(\Gamma^{k}_{\ ij}\)の\(i\)について縮約を取ると、 \[\left(\frac{du^\mu}{d\tau}+\Gamma_{\ \nu\xi}^\mu u^{\nu}u^\xi\right)\boldsymbol{e}_\mu=\boldsymbol{0}\]

＊＊測地線方程式＊＊

　重力場のみの相互作用を受けいている物体が、４元力を受けいていない場合以下の方程式が成り立つ。 \[\frac{du^\mu}{d\tau}+\Gamma_{\ \nu\xi}^\mu u^{\nu}u^\xi=0\] または時空間の座標\(x^{\mu}\)を用いて \[\frac{d^2x^\mu}{d\tau^2}+\Gamma_{\ \nu\xi}^\mu \frac{dx^\nu}{d\tau}\frac{d x^\xi}{d\tau}=0\]

　\(\nu,\xi\)の添え字について\(\sum\)の記号が隠れている点に注意。

　4元速度が \[u^0=\frac{c}{\sqrt{1-(v/c)^2}},\ u^i=\frac{v^i}{\sqrt{1-(v/c)^2}}\] 固有時が \[d\tau^2=-\frac{1}{c^2}g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu\] であったことを思い出す。これらを使って測地線方程式から計量を求めたい。測地線方程式から弱い重力場で、ゆっくり運動する物体を想像して条件をいくつかつける。

(1)計量テンソル\(g_{\mu\nu}\)は歪んでいないミンコフスキー空間の計量 \[g_{\mu\nu}=\begin{cases}-1&(\mu=\nu=0)\\1&(\mu=\nu=1,2,3)\\0&(\mu\neq\nu)\end{cases}\] にかなり近い、また時間によって変化しない。(近いってなんだよ（笑）と思うかもしれません。もともと大雑把にやってきましたが、あまり厳密にやりたくないのです。)もう少し正確に言うと、計量が空間成分のみの関数になっていて、掛け算足し算をする分には、\(-1,1,0\)のような数字として扱いたいということです。

(2)運動を考える物体は光よりゆっくり \[\frac{v}{c}\simeq0\] この仮定より、\(u^0=c,\ u^i=(v_x,v_y,v_z)\)である。また 固有時は、 \[d\tau^2=-\frac{1}{c^2}g_{00}dx^0 dx^0-\frac{1}{c^2}g_{ij}dx^i dx^j\] \(dx^i=v^idt\)また\(dx^0=cdt\)であるから、 \[=-\frac{1}{c^2}g_{00}cdt\ cdt-\frac{v^i}{c}\frac{v^j}{c}g_{ij}dtdt\] 第2項目は、(2)の仮定によって0計量テンソル\(g_{00}=-1\)を代入すると、 \[d\tau=-\frac{1}{c^2}(-1)c^2dt^2-0\] 以上から、\(d\tau=dt\)

　地平線方程式の第０成分は、\(c\)が定数なので、 \[\frac{du^0}{d\tau}+\Gamma_{\ \nu\xi}^0 u^{\nu}u^\xi=0\] \[\frac{dc}{d\tau}+\Gamma_{\ \nu\xi}^0 u^{\nu}u^\xi=0,\ \Gamma_{\ \nu\xi}^0=0\] 有用な結果が得られなかった。\(i=1,2,3\)成分は、 \[\frac{d^2x^i}{d\tau^2}+\Gamma_{\ \nu\xi}^i u^{\nu}u^\xi=0\] \(d\tau^2=dt^2\)より \[\frac{d^2x^i}{dt^2}+\Gamma_{\ 00}^i u^0u^0+\sum_{j=k\neq0}\Gamma_{\ jk}^iu^ju^k=0\] 条件(2)より、\(u^0=c,\ u^i=v^i\)、両辺を\(c^2\)で割ると、 \[\frac{1}{c^2}\frac{d^2x^i}{dt^2}+\Gamma_{\ 00}^i+\sum_{j=k\neq0}\Gamma_{\ jk}^i\frac{v^j}{c}\frac{v^k}{c}=0\] 条件(2)から、\(v^i/c\)は、\(0\)とみなせるので、 \[\frac{1}{c^2}\frac{d^2x^i}{dt^2}=-\Gamma_{\ 00}^{i}\] クリストッフェルの記号は計量テンソルを用いて、 \[\Gamma^{\xi}_{\mu\nu}=\sum_{\rho}\frac{1}{2}g^{\xi\rho}(\partial_\mu g_{\nu\rho}+\partial_\nu g_{\mu\rho}-\partial_\rho g_{\mu\nu})\] のように表せる。 \[\Gamma^{i}_{00}=\sum_{\rho}\frac{1}{2}g^{i\rho}(\partial_0 g_{0\rho}+\partial_0 g_{0\rho}-\partial_\rho g_{00})\] 条件(1)より計量テンソルは時間的に変化しないので時間微分\(\partial_0\)は0になるので、 \[\Gamma^{i}_{00}=-g^{i\rho}\frac{1}{2}\partial_\rho g_{00}\] \(g^{i\rho}=0\ (i\neq\rho),\ g^{i\rho}=1\ (i=\rho)\)なので、 \[\Gamma^{1}_{00}=-\frac{1}{2}\partial_1 g_{00},\ \Gamma^{2}_{00}=-\frac{1}{2}\partial_2 g_{00},\ \Gamma^{3}_{00}=-\frac{1}{2}\partial_3 g_{00}\] 以上から測地線方程式は、 \[\frac{d^2x^i}{dt^2}=c^2\Gamma_{\ 00}^i\] \[\frac{d^2x^i}{dt^2}=-\frac{c^2}{2}\frac{\partial g_{00}}{\partial x^i}\] この式をニュートンの万有引力の法則と見比べると、計量テンソルの\(g_{00}\)の正体が分かる。 \[\frac{d^2x^i}{dt^2}=-\frac{GM}{r^2}\frac{x^i}{r}\] と比較して、 \[-\frac{c^2}{2}\frac{\partial g_{00}}{\partial x^i}=-\frac{GM}{r^2}\frac{x^i}{r}\] \[\partial_ig_{00}=\frac{2GMx^i}{c^2r^3}\] \(\partial_x\sqrt{x^2+y^2+z^2}^{-1}=-x\sqrt{x^2+y^2+z^2}^{-3}\)であるから、両辺を\(x^i\)で積分して、 \[g_{00}=\frac{2GM}{c^2r}+積分定数\] さて積分定数をどのように決めるか、万有引力定数\(G\)はとても小さい数値で、分母にある光速度\(c\)の値はとても大きいので、\(GM/(c^2r)\simeq0\)であり、\(g_{00}\simeq-1\)なので \[g_{00}=-1+\frac{2GM}{c^2r}\] とするのがよさそうである。この計量テンソルを仮定することで、弱い重力場で、測地線方程式が、万有引力の法則に帰着できる。