ここが二番目に大変である。頑張って乗り切ろう。難しいことはない、計算量が多い。

＊＊リーマン曲率テンソル＊＊

　クリストッフェルの記号\(\Gamma_{\ \mu\nu}^{\xi}\)を用いて、リーマン曲率テンソル\(R^{\lambda}_{\ \mu\nu\rho}\) を、 \[R^{\lambda}_{\ \mu\nu\rho}:=\partial_{\rho}\Gamma^{\lambda}_{\ \mu\nu}-\partial_{\nu}\Gamma^{\lambda}_{\ \mu\rho}+\Gamma_{\sigma\nu}^\lambda\Gamma_{\ \mu\rho}^{\sigma}-\Gamma_{\ \sigma\rho}^\lambda\Gamma_{\ \mu\nu}^{\sigma}\]

　４次元でもリーマン曲率テンソルは同様に表せる。ミンコフスキー空間でのベクトル\(A^{\mu}\)の微分は、 \[\partial_i(A^{\mu}\boldsymbol{e}_\mu)=\partial_iA^0\boldsymbol{e}_0+\cdots+\partial_iA^3\boldsymbol{e}_3\] \[+A^0(\Gamma_{\ 0i}^0\boldsymbol{e}_0+\cdots+\Gamma_{\ 0i}^3\boldsymbol{e}_3)+A^1(\Gamma_{\ 1i}^0\boldsymbol{e}_0+\cdots+\Gamma_{\ 1i}^3\boldsymbol{e}_3)\] \[+A^2(\Gamma_{\ 2i}^0\boldsymbol{e}_0+\cdots+\Gamma_{\ 2i}^3\boldsymbol{e}_3)+A^3(\Gamma_{\ 3i}^0\boldsymbol{e}_0+\cdots+\Gamma_{\ 3i}^3\boldsymbol{e}_3)\] 基底ベクトルごとに並べ替えると、 \[\partial_i(A^{\mu}\boldsymbol{e}_\mu)=(\partial_iA^0+\Gamma_{\ 0i}^0A^0+\cdots+\Gamma_{\ 3i}^0A^3)\boldsymbol{e}_0\] \[+(\partial_iA^1+\Gamma_{\ 0i}^1A^0+\cdots+\Gamma_{\ 3i}^1A^3)\boldsymbol{e}_1\] \[+(\partial_iA^2+\Gamma_{\ 0i}^2A^0+\cdots+\Gamma_{\ 3i}^2A^3)\boldsymbol{e}_2\] \[+(\partial_iA^3+\Gamma_{\ 0i}^3A^0+\cdots+\Gamma_{\ 3i}^3A^3)\boldsymbol{e}_3\] クリストッフェルの記号について総和を取ると、 \[\partial_i(A^{\mu}\boldsymbol{e}_\mu)=\sum_{\alpha=0}^3(\partial_iA^0+\Gamma_{\ \alpha i}^0A^\alpha)\boldsymbol{e}_0+\sum_{\alpha=0}^3(\partial_iA^1+\Gamma_{\ \alpha i}^1A^\alpha)\boldsymbol{e}_1\] \[+\sum_{\alpha=0}^3(\partial_iA^2+\Gamma_{\ \alpha i}^2A^\alpha)\boldsymbol{e}_2+\sum_{\alpha=0}^3(\partial_iA^3+\Gamma_{\ \alpha i}^3A^\alpha)\boldsymbol{e}_3\] この式を更に\(j\)方向で偏微分すると \[\partial_j\partial_i(A^{\mu}\boldsymbol{e}_\mu)\] \[=\sum_{\alpha=0}^3(\partial_j\partial_iA^0+\partial_j\Gamma_{\ \alpha i}^0A^\alpha+\Gamma_{\ \alpha i}^0\partial_jA^\alpha)\boldsymbol{e}_0\] \[+\sum_{\alpha=0}^3(\partial_j\partial_iA^1+\partial_j\Gamma_{\ \alpha i}^1A^\alpha+\Gamma_{\ \alpha i}^1\partial_jA^\alpha)\boldsymbol{e}_1\] \[\cdots\] \[+\sum_{\alpha=0}^3(\partial_j\partial_iA^3+\partial_j\Gamma_{\ \alpha i}^3A^\alpha+\Gamma_{\ \alpha i}^3\partial_jA^\alpha)\boldsymbol{e}_3\] \[+\sum_{\alpha=0}^3(\partial_iA^0+\Gamma_{\ \alpha i}^0A^\alpha)(\Gamma_{0j}^0\boldsymbol{e}_0+\cdots+\Gamma_{0j}^3\boldsymbol{e}_3)\] \[+\sum_{\alpha=0}^3(\partial_iA^1+\Gamma_{\ \alpha i}^1A^\alpha)(\Gamma_{1j}^0\boldsymbol{e}_0+\cdots+\Gamma_{1j}^3\boldsymbol{e}_3)\] \[\cdots\] \[+\sum_{\alpha=0}^3(\partial_iA^3+\Gamma_{\ \alpha i}^3A^\alpha)(\Gamma_{3j}^0\boldsymbol{e}_0+\cdots+\Gamma_{3j}^3\boldsymbol{e}_3)\] いや、長い。この式の\(\boldsymbol{e}_\mu\)の項は、 \[\partial_{j}\partial_{i}(A^{\mu}\boldsymbol{e}_\mu)=\sum_{\alpha=0}^3(\partial_j\partial_iA^\mu+\partial_j\Gamma_{\ \alpha i}^\mu A^\alpha+\Gamma_{\ \alpha i}^\mu\partial_jA^\alpha\] \[+\Gamma^\mu_{0j}(\partial_iA^0+\Gamma_{\ \alpha i}^0A^\alpha)+\cdots+\Gamma^\mu_{3j}(\partial_iA^3+\Gamma_{\ \alpha i}^3A^\alpha))\boldsymbol{e}_\mu\] \[=\sum_{\alpha=0}^3(\partial_j\partial_iA^\mu+\partial_j\Gamma_{\ \alpha i}^\mu A^\alpha+\Gamma_{\ \alpha i}^\mu\partial_jA^\alpha+\] \[\Gamma^\mu_{\alpha j}\partial_iA^\alpha+\Gamma^\mu_{\beta j}\Gamma_{\ \alpha i}^\beta A^\alpha)\boldsymbol{e}_\mu\] リーマン曲率テンソルの定義\(\sum_{\alpha=0}^3R^{\mu}_{\ \alpha ij}A^\alpha\boldsymbol{e}_\mu:=\partial_{i}\partial_{j}(A^{\mu}\boldsymbol{e}_\mu)-\partial_{j}\partial_{i}(A^{\mu}\boldsymbol{e}_\mu)\)の通りに計算すると、4次元でも同様の結果が得られる。 \[\sum_{\alpha=0}^3R^{\mu}_{\ \alpha ij}A^\alpha\boldsymbol{e}_\mu\] \[=\sum_{\alpha=0}^3(\partial_i\Gamma^{\mu}_{\ \alpha j}-\partial_j\Gamma^{\mu}_{\ \alpha i}+\Gamma^\mu_{\ \beta i}\Gamma^{\beta}_{\ \alpha j}-\Gamma^\mu_{\ \beta j}\Gamma^{\beta}_{\ \alpha i})A^{\alpha}\boldsymbol{e}_\mu\] \[R^{\mu}_{\ \alpha ij}=\sum_{\beta=0}^3(\partial_i\Gamma^{\mu}_{\ \alpha j}-\partial_j\Gamma^{\mu}_{\ \alpha i}+\Gamma^\mu_{\ \beta i}\Gamma^{\beta}_{\ \alpha j}-\Gamma^\mu_{\ \beta j}\Gamma^{\beta}_{\ \alpha i})\] 　ここからはアインシュタイン方程式に必要なテンソルを定義していく。まずはリッチテンソル\(R_{\mu\nu}\)は、 \[R_{\mu\nu}:=\sum_{\alpha=0}^3R^{\alpha}_{\ \mu\alpha\nu}=R^{0}_{\mu0\nu}+R^{1}_{\ \mu1\nu}+R^{2}_{\ \mu2\nu}+R^{3}_{\mu3\nu}\] \[=\sum_{\alpha=0}^3\sum_{\beta=0}^3(\partial_\alpha\Gamma^{\alpha}_{\ \mu\nu}-\partial_\nu\Gamma^{\alpha}_{\ \mu\alpha}+\Gamma^\alpha_{\ \beta\alpha}\Gamma^{\beta}_{\ \mu \nu}-\Gamma^\alpha_{\ \beta\nu}\Gamma^{\beta}_{\ \mu\alpha})\] で定義される。次にリッチスカラー\(R\)は \[R:=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}\] \[=g^{00}R_{00}+g^{01}R_{01}+g^{02}R_{02}+g^{03}R_{03}\] \[+g^{10}R_{10}+g^{11}R_{11}+g^{12}R_{12}+g^{13}R_{13}\] \[\cdots\] \[+g^{30}R_{30}+g^{31}R_{31}+g^{32}R_{32}+g^{33}R_{33}\] で定義される。アインシュタインテンソル\(G_{\mu\nu}\)は \[G_{\mu\nu}:=R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}\] のように定義される。運動量エネルギーテンソルを \[T_{\mu\nu}:=\left(\rho(x^\mu)+\frac{P(x^{\mu})}{c^2}\right)u_{\mu}u_{\nu}+g_{\mu\nu}P(x^{\mu})\] (\(\rho,\ P\)は物質場の密度と圧力)と定義すると、 \[G_{\mu\nu}=\kappa T_{\mu\nu}\] \(G_{\mu\nu}\)と\(T_{\mu\nu}\)が比例関係にあるとアインシュタインは予想した。一般相対性理論の基礎方程式であるが、残念ながら検証が今のところできていない。(たぶん。)式の意味としてはアインシュタインテンソル\(G_{\mu\nu}\)は空間の歪みを表し、運動量エネルギーテンソル\(T_{\mu\nu}\)は物質場の密度や物質場の４元速度、圧力関する物理量になっているので、質量や運動状態、圧力があると空間が歪み計量が変化するという方程式である。エネルギー運動量テンソルもこんなものがあるのか程度に考えておくといいと思う。 \[G_{\mu\nu}+\varLambda g_{\mu\nu}=\kappa T_{\mu\nu}\] のように\(\varLambda\)のような小さな定数があるんじゃないかともいわれている。比例定数\(\kappa\)を調節することで、最低限、万有引力の法則が再現できる。今は、ほんとに比例関係にあるのか分からないと思うが、とりあえず成り立っているものと考えてほしい。

＊＊アインシュタイン方程式＊＊

　時空間の歪みを表すアインシュタインテンソル\(G_{\mu\nu}\)と物質場の状態を表す運動量エネルギーテンソル\(T_{\mu\nu}\)は比例関係にあると考えられる。 \[G_{\mu\nu}+\varLambda g_{\mu\nu}=\kappa T_{\mu\nu}\]