空間の歪みを表すアインシュタインテンソル$G_{\mu \nu }$と物質場を表す運動量エネルギーテンソル$T_{\mu \nu }$が比例関係にあると思わる。 $$G_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }$$ リッチテンソルを使うと、 $$R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }$$ この比例定数$\kappa$を決めたい。せめて古典力学的な近似をして、万有引力の法則を再現するような$\kappa$を決めるため２つの条件を与える。

(1)運動量エネルギーテンソルの条件

　　古典力学で考える太陽のような動かない物体が作る物質場を考えよう。天体１つが作る重力場を考えるため、物質同士が接触していない想定で圧力は$P=0$である。更に重力場を作る天体は原点$O$で静止している想定で４元速度は$u^{\mu }=(c,0,0,0)$まずはエネルギー運動量テンソル$T_{\mu \nu }$は、 $$T_{\mu \nu }=\{\begin{array}{ll}\rho c^2& (\mu =\nu =0)\\ 0& (\mathrm{そ}\mathrm{の}\mathrm{他})\end{array}$$ 物質場を作る天体の体積を$V_{\epsilon }$質量を$M$とすると、 $$\rho =\frac{M}{V_{\epsilon }}$$ が成り立つものとする。天体の外側では$\rho =0$

(2)弱い重力場の条件

　空間の歪みをほぼ無視して計量テンソルは $$g_{\mu \nu }=\{\begin{array}{ll}-1& (\mu =\nu =0)\\ 1& (\mu =\nu =1,2,3)\\ 0& (\mu \ne \nu )\end{array}$$ に非常に近い計量で時間変化しないも考える。行列の表記をすると、 $$(g_{\mu \nu })\simeq \left(\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$ の対角行列になるので、逆行列も $$(g^{\mu \nu })\simeq \left(\begin{array}{cccc}1/(-1)& 0& 0& 0\\ 0& 1/1& 0& 0\\ 0& 0& 1/1& 0\\ 0& 0& 0& 1/1\end{array}\right)=(g_{\mu \nu })$$ 同じであることが分かる。また計量テンソル$g_{\mu \nu }$はほぼ変化しないので、微分はかなり小さく、２次以上は０とみなす。 $${\partial }_{\mu }{g}_{\alpha \beta }{\partial }_{\nu }{g}_{\gamma \delta }\simeq 0$$ クリストッフェルの記号も計量テンソルの微分でできているので、2次以上も０とみなす。 $${\mathrm{\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\mu }{\mathrm{\Gamma }}_{\gamma \delta }^{\nu }\simeq 0$$

それでは$\kappa$求めよう。アインシュタイン方程式を成分ごとに表すと、 $$\begin{array}{cccc}{G}_{00}=\kappa T_{00}& G_{01}=\kappa T_{01}& G_{02}=\kappa T_{02}& G_{03}=\kappa T_{03}\end{array}$$ $$\begin{array}{cccc}{G}_{10}=\kappa T_{10}& G_{11}=\kappa T_{11}& G_{12}=\kappa T_{12}& G_{13}=\kappa T_{13}\end{array}$$ $$\begin{array}{cccc}{G}_{20}=\kappa T_{20}& G_{21}=\kappa T_{21}& G_{22}=\kappa T_{22}& G_{23}=\kappa T_{23}\end{array}$$ $$\begin{array}{cccc}{G}_{30}=\kappa T_{30}& G_{31}=\kappa T_{31}& G_{32}=\kappa T_{32}& G_{33}=\kappa T_{33}\end{array}$$ 運動量エネルギーテンソル$T_{\mu \nu }$を代入すると $$\begin{array}{cccc}{G}_{00}=\kappa \rho c^2& G_{01}=0& G_{02}=0& G_{03}=0\end{array}$$ $$\begin{array}{cccc}{G}_{10}=0& G_{11}=0& G_{12}=0& G_{13}=0\end{array}$$ $$\begin{array}{cccc}{G}_{20}=0& G_{21}=0& G_{22}=0& G_{23}=0\end{array}$$ $$\begin{array}{cccc}{G}_{30}=0& G_{31}=0& G_{32}=0& G_{33}=0\end{array}$$ 計量テンソルの逆行列$g^{\mu \nu }$を両辺に掛けると $$\begin{array}{cccc}{g}^{00}{G}_{00}=-\kappa \rho c^2& g^{01}{G}_{01}=0& g^{02}{G}_{02}=0& g^{03}{G}_{03}=0\end{array}$$ $$\begin{array}{cccc}{g}^{10}{G}_{10}=0& g^{11}{G}_{11}=0& g^{12}{G}_{12}=0& g^{13}{G}_{13}=0\end{array}$$ $$\begin{array}{cccc}{g}^{20}{G}_{20}=0& g^{21}{G}_{21}=0& g^{22}{G}_{22}=0& g^{23}{G}_{23}=0\end{array}$$ $$\begin{array}{cccc}{g}^{30}{G}_{30}=0& g^{31}{G}_{31}=0& g^{32}{G}_{32}=0& g^{33}{G}_{33}=0\end{array}$$ この16個の式の両辺を全て足すと、右辺は$-\kappa \rho c^2$、左辺は、 $$\sum _{\mu =0}^3\sum _{\nu =0}^3{g}^{\mu \nu }{G}_{\mu \nu }=\sum _{\mu =0}^3\sum _{\nu =0}^3(g^{\mu \nu }{R}_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}^{\mu \nu }{g}_{\mu \nu })$$ $g^{\mu \nu }{R}_{\mu \nu }$はリッチテンソル$R$になるので、 $$\sum _{\mu =0}^3\sum _{\nu =0}^3{g}^{\mu \nu }{G}_{\mu \nu }=R-\frac{1}{2}R\sum _{\mu =0}^3\sum _{\nu =0}^3{g}^{\mu \nu }{g}_{\mu \nu }$$ 今回考えている計量は$\mu \ne \nu$ならば$g_{\mu \nu }=0$なので、$g^{\mu \mu }{g}_{\mu \mu }$のみ残る。 $$=R-\frac{1}{2}R(g^{00}{g}_{00}+g^{11}{g}_{11}+g^{22}{g}_{22}+g^{33}{g}_{33})$$ $$=R-\frac{1}{2}R((-1)\times (-1)+1\times 1+1\times 1+1\times 1)$$ $$g^{\mu \nu }{G}_{\mu \nu }=R-2R=-R$$ つまり、 $$R=\kappa \rho c^2$$ これをもとのアインシュタイン方程式に代入すると、 $$R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}\kappa \rho c^2{g}_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }$$ この式の$00$成分は、 $$R_{00}-\frac{1}{2}\kappa \rho c^2(-1)=\kappa \rho c^2$$ $$R_{00}=\kappa \frac{1}{2}\rho c^2$$ さてここまでくればリッチテンソルの$00$成分を求めるのみ、 $$R_{\mu \nu }=\sum _{\alpha =0}^3\sum _{\beta =0}^3({\partial }_{\alpha }{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\alpha }-{\partial }_{\nu }{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \alpha }^{\alpha }+{\mathrm{\Gamma }}_{\beta \alpha }^{\alpha }{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\beta }-{\mathrm{\Gamma }}_{\beta \nu }^{\alpha }{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \alpha }^{\beta })$$ 条件(2)よりクリストッフェルの記号の2次以降を0とみなす。 $$R_{\mu \nu }\simeq \sum _{\alpha =0}^3({\partial }_{\alpha }{\mathrm{\Gamma }}_{00}^{\alpha }-{\partial }_0{\mathrm{\Gamma }}_{0\alpha }^{\alpha })$$ クリストッフェルの記号を計量テンソル$g_{\mu \nu }$を使って表すと、第一項目は計量テンソルが時間的に変換しないので、計量テンソルでできているクリストッフェルの記号の時間微分も${\partial }_0{\mathrm{\Gamma }}_{0\alpha }^{\alpha }=0$ $$R_{00}=\sum _{\alpha =0}^3{\partial }_{\alpha }{\mathrm{\Gamma }}_{00}^{\alpha }$$ $$=\sum _{\alpha =0}^3{\partial }_{\alpha }\sum _{\rho =0}^3\frac{1}{2}{g}^{\alpha \rho }({\partial }_0{g}_{0\rho }+{\partial }_0{g}_{0\rho }-{\partial }_{\rho }{g}_{00})$$ 計量テンソルは時間変化しないので、時間微分${\partial }_0$の項は消える。$\sum$の時間微分の項も消えるので、 $$R_{00}=-\sum _{\alpha =1}^3{\partial }_{\alpha }\sum _{\rho =1}^3\frac{1}{2}{g}^{\alpha \rho }{\partial }_{\rho }{g}_{00}$$ $\alpha \ne \rho$ならば$g^{\alpha \rho }=0$、$\alpha =\rho$ならば$g^{\lambda \rho }=1$なので、 $$R_{00}=-\frac{1}{2}({\partial }_1^2{g}_{00}+{\partial }_2^2{g}_{00}+{\partial }_3^2{g}_{00})=\frac{1}{2}\kappa \rho c^2$$ ここからベクトル解析の手法を使う。 $$-\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }{g}_{00})=\kappa \rho c^2$$ 天体の領域$V_{ϵ}$で面積分すると、 $${\int }_{V_{ϵ}}-\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }{g}_{00})dV={\int }_{V_{ϵ}}\kappa \rho c^{2}dV$$ 測地線方程式のページで$g_{00}=-1+\frac{2GM}{c^{2}r}$であったことを活用しよう。計算は省略しますが、 $$\mathrm{\nabla }{g}_{00}=\frac{2GM}{c^2{r}^2}{\mathit{e}}_r$$ なので、 $${\int }_{V_{ϵ}}-\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }{g}_{00})dV={\int }_{V_{ϵ}}\kappa \rho c^{2}dV=\kappa M{c}^2$$ ガウスの定理${\int }_V\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{A}dV={\oint }_{\partial V}\mathit{A}$を使おう。電磁気学のガウスの法則のページも参照されたい。 $${\oint }_{\partial V_{ϵ}}\frac{2GM}{c^2{r}^2}{\mathit{e}}_r\cdot d\mathit{S}=\kappa M{c}^2$$ 天体の球体とみなして半径を$r_{ϵ}$とすると $$-\frac{2GM}{c^2{r}_{ϵ}^2}(4\pi r_{ϵ}^2)=\kappa M{c}^2$$ $$\kappa =\frac{8\pi G}{c^4}$$ やっと求められた。

＊＊アインシュタイン方程式＊＊

　物質場$T_{\mu \nu }$と時空の歪みを表す$G_{\mu \nu }$は比例関係にあると考えられ、$8\pi G/c^4$を係数とする。 $$G_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }$$

/*　おまけ

アインシュタイン方程式 $$G_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }$$ 物質場$T_{\mu \nu }$を与えることで時空間の計量$g_{\mu \nu }$を答えてくれる方程式である。時空間の計量$g_{\mu \nu }$が分かっていると測地線方程式 $$\frac{d{u}^{\mu }}{d\tau }+{\mathrm{\Gamma }}_{\nu \xi }^{\mu }{u}^{\nu }{u}^{\xi }=0$$ から軌道を求めることができる。今は$\kappa$を求めるために逆の手順を踏んで万有引力の法則 $$m\frac{d{v}^i}{dt}=-\frac{GMm}{r^2}\frac{x^i}{r}$$ から、測地線方程式で計量を求めて、その計量を満たすアインシュタイン方程式の比例係数$\kappa$を見つけた。

終わり　*/