楽しい科学(理論)チャンネル

 

ベクトル関数の微分、経路積分

 前回ベクトルの内積と外積についてやったが、今回はベクトルを関数として見ていこうと思う。 空間のある1点x=(x y z)が決まると、その点での温度T(x)が1つに決まるようなのもはベクトルが1つ決まるとスカラーが1つ決まる関数である。放物運動している物体について、時間tがきまると、それに対応した位置x(t)=(x(t) y(t) z(t))が1つに定まる。これはスカラーが1つ決まると、ベクトルが1つ決まる関数である。またある惑星が太陽から受ける万有引力FMFM(x(t))のように時間tによって位置xが決まって、それによってFMが決まるという合成関数みたいなものも考えることができる。

ベクトルの微分のあれやこれや

 基本的にベクトルの割り算はないため、ベクトルA=(Ax Ay Az)をスカラーtで微分するということを考える。tの関数Ax(t)の微分は ddtAx(t)=limΔt0Ax(t+Δt)Ax(t)Δt である。ベクトルAの各成分が(Ax(t) Ay(t) Az(t))のようにtの関数の時A=A(t)のようにベクトルもtの関数のように表すことにする。 A(t)=Ax(t)ex+Ay(t)ey+Az(t)ez At微分を ddtA(t):=dAx(t)dtex+dAy(t)dtey+dAz(t)dtez のように計算することにする。3つの成分の微分を1つの微分で表せるので便利である。 tの関数A,Bベクトル積、スカラー積の微分も示す。 ddt(AB)=ddt(AxBx+AyBy+AzBz) =dAxdtBx+AxdBxdt+dAydtBy +AydBydt+dAzdtBz+AzdBzdt =dAxdtBx+dAydtBy+dAzdtBz +AxdBxdt+AydBydt+AzdBzdt =dAdtB+AdBdt 外積はz成分のみ示す。他の成分も同様に成り立つ。 ddt[A×B]z=ddt(AxByAyBx) =dAxdtBy+AxdBydtdAydtBxAydBxdt =dAxdtBydAydtBx+AxdBydtAydBxdt =[dAdt×B]z+[A×dBdt]z ベクトル積、スカラー積でも(fg)=fg+fgのように微分してよいので覚えやすい!

ベクトル場

 ベクトルAが位置r=(x y z)で決まる場合、A=A(x,y,z)=A(r)をベクトル場という。下の図は A(r)=xx2+y2ex+yx2+y2ey というベクトル場の例である。図は81箇所でベクトルAを表示したが、実際は空間全体(この例の場合(x y)=0を除く)にベクトルA(r)が定めてある。
このように、距離の2乗に反比例するベクトル場は万有引力や電場など、身の回りによくある。空間のある1点に対してスカラーが1つ決まる関数をスカラー場という。こちらは、気圧やポテンシャルエネルギーなどがある。

線積分

 1変数関数の積分はa=x0xixn=bの範囲で abf(x)dx=i=0f(xi)(xi+1xi) のように計算できる。これにより、距離の計算x=abvdtやまっすぐな経路での仕事W=abFdxが計算できるようになった。距離の計算では時間tのため、1変数の積分で十分である。しかし後者のような経路積分は直線の道とは限らない。途中で坂を上ったりカーブする経路での計算が必要であるため、3次元の経路Cでの積分を考える。一番自然な考えとして、経路C3の上に短い線分Δs3を複数つなぎCを線分Δsで作る。i番目の線分Δsiを底辺としてf(xi,yi,zi)を高さとする長い長方形の和を線積分と定義しよう。 Cf(x,y,z)ds:=i=0f(xi,yizi)Δsi この積分は次のようにも表せる。 Cf(x,y,z)ds=Cf(x,y,z)sxdx +Cf(x,y,z)sydy+Cf(x,y,z)szdz 微小変位ベクトルdr=(dx dy dz)、ベクトル場A(r)=(fsx fsy fsz)とすると Cf(x,y,z)ds=CA(r)drのように表すこともできる。こちらは1変数関数の積分を線上での積分から経路による積分に拡張する方法だったが、ベクトル場がイメージできる場合は下のように覚えてもいいかもしれない。物理での線積分は下のパターンが多い。やってることは同じなので自分がわかりやすいほうを理解すればそれでよい。
経路C上の任意の点を位置ベクトルrで表すことができるとき、大まかに経路C{a=r0rirn=b}とあらわせる。nでベクトル場A(r)の線積分を CA(r)dr:=i=0A(ri)Δri とする。3次元のベクトル場であれば、 CA(r)dr=CAx(x,y,z)dx+CAy(x,y,z)dz +CAz(x,y,z)dz と表せる。3つの積分で計算が可能であるが、度の積分も積分する関数に他の変数が紛れていて、大抵の場合計算が難しいので、経路と直交するような座標軸をとるとか、r=r(t)のように媒介変数tを見つけて、 CA(r)dr=t0tAr(r(t))drdtdt のようなtの関数にして積分する場合が多い。自分で好きな経路を取ってもよければ簡単な経路を取るのも手である。1変数関数f(x)に原始関数F(x)が存在する場合dF(x)=f(x)dxと表せる。あるベクトル関数A(r)dF(x,y,z)=A(r)drを満たす関数F(x,y,z)があるとき、 十分に大きい数nを使い、 CdF(r)=i=0n(F(ri+1)F(ri))=F(rn)F(r0) CdF(r)=F(b)F(a) この積分は経路Cによらず始点aと終点bのみで決まる。関数F(x,y,z)dF(x,y,z)=Fx(x,y,z)xdx+Fy(x,y,z)ydy+Fz(x,y,z)zdzのように前微分されるので、 dF(x,y,z)=A(r)dr =Ax(r)dx+Ay(r)dy+Az(r)dz と係数を比較して、 Ax(r)=Fx(x,y,z)x Ay(r)=Fx(x,y,z)y Az(r)=Fx(x,y,z)z を満たす関数F(x,y,z)がある場合に限り CA(r)dr=F(b)F(a) のように計算できる。