空間の2次元と時間１次元でシュワルツシルト計量での固有時は、 \[-c^2d\tau=-\left(1-\frac{r_g}{r}\right)c^2dt^2+\frac{1}{1-r_g/r}dr^2+r^2d\phi\] 両辺を\(d\tau\)で割ると、 \[-c^2=-\left(1-\frac{r_g}{r}\right)c^2\dot t^2+\frac{1}{1-r_g/r}\dot r^2+r^2\dot \phi\] 古典力学で、軌道を求めるためる助けになった力学的エネルギー保存則や角運動量保存則のようなものが、相対性理論にもあり、 \[\varepsilon=\left(1-\frac{r_g}{r}\right)\dot t\] \[l=r^2\dot\phi\] これらを固有時の式に代入して、 \[-c^2=-\left(1-\frac{r_g}{r}\right)^{-1}c^2\varepsilon^2+\frac{1}{1-r_g/r}\dot r^2+\frac{l^2}{r^2}\] 両辺に\(1-r_g/r\)を掛けると、 \[-c^2\left(1-\frac{r_g}{r}\right)=c^2\varepsilon^2+\dot r^2+\frac{l^2}{r^2}\] 両辺を\(\tau\)で微分して、 \[-\frac{c^2r_g}{r^2}\dot r=2\dot r\ddot r-\frac{2l^2}{r^3}\dot r\] 並べ替えて、\(\dot r\)で割ると、\(r_g=2GM/c^2\) \[\ddot r=-\frac{MG}{r^2}+\frac{l^2}{r^3}\] 万有引力の法則に\(l^2/r^3\)で補正を入れた形になっていることが分かる。惑星の速度が光の速さより十分に小さいとすれば、\(d\tau=dt\)なので、\(A=l^2/GM\)から、 \[\frac{d^2r}{dt^2}=-\frac{GM}{r^2}+\frac{GMA}{r^3}\] 具体的には、以下のような計算で軌道を出そう。 \[A,G,M,x_0,y_0,\dot x_0,\dot y_0=const.\] \[\dot x_i=-\frac{GMx_{i-1}dt}{(x_{i-1}^2+y_{i-1}^2)^{3/2}}+\frac{GMAx_{i-1}dt}{(x_{i-1}^2+y_{i-1}^2)^2}+\dot x_{i-1}\] \[\dot y_i=-\frac{GMy_{i-1}dt}{(x_{i-1}^2+y_{i-1}^2)^{3/2}}+\frac{GMAy_{i-1}dt}{(x_{i-1}^2+y_{i-1}^2)^2}+\dot y_{i-1}\] \[x_i=\dot x_{i-1}dt+x_0,\ y_i=\dot y_{i-1}dt+y_0\] この計算をjsにやってもらおう。

\(x\)座標

\(y\)座標

\(\dot x_0\)

\(\dot y_0\)

太陽の質量\(M\)

定数\(A\)

スタート

　今回inputの値はテキトーであるが、\(A\)の値があることによって半径の３乗に反比例する力が働き楕円運動がずれていく運動を見ることができる。水星のように強い重力場での惑星の軌道は楕円の運動からずれる。これを理論的に説明できたのが一般相対性理論の成果の一つ。\(A\)の値などを変えいてみるときれいな模様が作れる。