前回ローレンツ変換 \[ct'=\gamma ct-\beta\gamma x\] \[x'=-\beta\gamma ct+\gamma x\] \[\beta=\frac{V}{c},\ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\] というものをやった。慣性系\(K\)から一定の速度\(V\)で進んでいる慣性系\(K'\)があり、\(K\)から時刻\(t\)に位置\(x\)に見えるものを、\(K'\)からは、時刻\(t'\)に\(x'\)にあるように見えるということを教えてくれる変換である。逆変換は \[ct=\gamma ct'+\beta\gamma x'\] \[x=\beta\gamma ct'+\gamma x'\] である。慣性系\(K'\)から見て一定の速度\(V\)で遠ざかって見える慣性系\(K\)のがあり、\(K'\)から時刻\(t'\)に位置\(x'\)に見えるものを、\(K\)からは、時刻\(t\)に\(x\)にあるように見えるということを教えてくれる変換である。 今回はこの不思議な世界(本当はこっちが正しい世界)で、時間、物の長さというのもを見ていきたい。

*図の設定\(K,K'\)ともに静止して\(l=1\ \mathrm{m}\)の２本の棒があり、そのうち１本を\(K'\)に渡し速度\(V=0.6c\)で動いてもらう。*

まずは、位置\(a,b\)をローレンツ変換して、\(a',b'\)を求めよう。 \[a'=-\beta\gamma ct+\gamma a\] \[b'=-\beta\gamma ct+\gamma b\] \(K'\)の棒の長さは\(b'-a'=l'=1\mathrm{m}\)である。これを\(K\)から見ると、 \[l'=b'-a'=\gamma(b-a)\] \[b-a=\gamma^{-1} l'=\sqrt{1-(0.6c/c)^2}\times1\ \mathrm{m}=0.8\ \mathrm{m}\] 短くなって見えるのだ。

逆に\(K'\)から見ると、\(K\)は速度\(V\)で遠ざかって見える。位置\(a,b\)を逆ローレンツ変換して、\(a',b'\)を求めよう。 \[a=\beta\gamma ct'+\gamma a'\] \[b=\beta\gamma ct'+\gamma b'\] \(K\)の棒の長さは\(b-a=l=1\ \mathrm{m}\)である。これを\(K'\)から見ると、 \[l=b-a=\gamma(b'-a')\] \[b'-a'=\gamma^{-1} l=\sqrt{1-(0.6c/c)^2}\times1\ \mathrm{m}=0.8\ \mathrm{m}\] \(K'\)から見ても、\(K\)の棒が縮んで見える。

＊＊ローレンツ収縮＊＊

　慣性系\(K\)から速度\(V\)で動いている長さ\(l\)の物体は運動している方向に縮んで見える。慣性系から見た物体の長さは \[\sqrt{1-(V/c)^2}l\] の式で表せる。

*問題 慣性系\(K\)と速度\(V=\sqrt{3}/2c\)の粒子がある。粒子の寿命が、\(3\)秒であるとき\(K\)からは何秒生きて見えるか。*

　慣性系\(K\)の原点\(O\)に観測者を置く。\(O\)から速度\(V\)で動く粒子は\(K\)からみて\(x=Vt\)の位置にあるので、\(ct\)のローレンツ変換は、 \[ct'=\gamma ct-\beta \gamma Vt\] \[t'=\gamma\left(1-\beta\frac{V}{c}\right)=\gamma(1-\beta^2)t=\gamma^{-1}t\] 実際に数字を入れてみよう。 \[t=\gamma t'=\frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{3}/2)^2}}\times3\ \mathrm{s}=6\ \mathrm{s}\] 粒子の寿命は３秒であるが、止まっている系から見れば6秒も生きる。逆も考えてみよう。粒子と並走する慣性系\(K'\)があり粒子の位置を原点\(O'\)に取る。観測者は\(x'=-Vt'\)の位置にいるので\(ct'\)のローレンツ逆変換は \[ct=\gamma ct'+\beta\gamma(-Vt')\] \[t=\gamma^{-1}t',\ t'=2t\] つまり粒子が、1,2,3と数えている間、粒子から見て観測者の時間は\(1.5\)秒しかたっていないことになる。

＊＊時間の遅れ＊＊

　慣性系\(K\)から速度\(V\)で動いている系\(K'\)がある。\(K\)から見たとき、\(K\)の時刻\(t\)に比べて\(K'\)の時刻\(t'\)はゆっくり流れる。\(K\)の時間間隔\(\varDelta t\)と\(K'\)の時間間隔\(\varDelta t'\)には次の関係がある。 \[\varDelta t=\frac{\varDelta t'}{\sqrt{1-(V/c)^2}}\]