/*　余談

　アインシュタインの縮約記法は、特殊相対性理論を知っている人には便利だが、特殊相対性理論を学ぶ人にとって、アンシュタインの縮約記法は文脈から式がどの添え字で和を取っているのかわかりずらい。文脈も何も今勉強しているところではないか。できる限り縮約を使ったもの、そのままの式両方載せる。そのほうがわかりやすい。ただそれは折角漢字を書けるようにしたのにひらがなも一緒に書いているようなものだと感じる。慣れてきたらテンソル、縮約を使おう。

終わり　*/

数直線上\(x^1=x\)と時間軸\(x^0=ct\)を加えた２次元でのローレンツ変換は \[x'^0=\gamma x^0-\beta\gamma x^1\] \[x'^1=-\beta\gamma x^0+\gamma x^1\] のように表せる。実際の空間は\((x^0,x^1,x^2,x^3)=(ct,x,y,z)\)の４次元である。ここで任意のローレンツ変換をするとかなり複雑になる。

そこで\(x\)軸が\(\boldsymbol{V}\)と平行な座標系を採用しよう。これにより一定の速度\(\boldsymbol{V}\)で動く座標系への変換が非常にシンプルになる。\((x^0,x^1)=(ct,x)\)はこれまでと同様で、 \[x'^0=\gamma x^0-\beta\gamma x^1\] \[x'^1=-\beta\gamma x^0+\gamma x^1\] \(y,z\)方向の速度は\(0\)なので、\(y,z\)方向に関して同じ慣性系であるから \[x'^2=x^2\] \[x'^3=x^3\] まとめて書くと、 \[x'^0=\gamma x^0-\beta\gamma x^1+0\ x^2+0\ x^3\] \[x'^1=-\beta\gamma x^0+\gamma x^1+0\ x^2+0\ x^3\] \[x'^2=0\ x^0+0\ x^1+1\ x^2+0\ x^3\] \[x'^3=0\ x^0+0\ x^1+0\ x^2+1\ x^3\] ローレンツ変換を\(2\)階テンソル(添え字が２つのテンソル)\(L^{\mu}_{\ \nu}\)を \[L^0_{\ 0}=\gamma\quad L^0_{\ 1}=-\beta\gamma\quad L^0_{\ 2}=0\quad L^0_{\ 3}=0\] \[L^1_{\ 0}=-\beta\gamma\quad L^1_{\ 1}=\gamma\quad L^1_{\ 2}=0\quad L^1_{\ 3}=0\] \[L^2_{\ 0}=0\quad L^2_{\ 1}=0\quad L^2_{\ 2}=1\quad L^2_{\ 3}=0\] \[L^3_{\ 0}=0\quad L^3_{\ 1}=0\quad L^3_{\ 2}=0 \quad L^3_{\ 3}=1\] のように定義すると、 \[x'^0=\sum_{\nu=0}^{3}L^{0}_{\ \nu}x^{\nu}\] \[x'^1=\sum_{\nu=0}^{3}L^{1}_{\ \nu}x^{\nu}\] \[x'^2=\sum_{\nu=0}^{3}L^{2}_{\ \nu}x^{\nu}\] \[x'^3=\sum_{\nu=0}^{3}L^{3}_{\ \nu}x^{\nu}\] とすっきり、アインシュタインの縮約記法を(\(\sum\)を省略)使うと、 \[x'^{\mu}=L^{\mu}_{\ \nu}x^{\nu}\]

　古典力学では\(x,y,z\)の３つの軸が直交した空間を考えてきた。時間\(t\)や質量\(m\)のように基底ベクトルの取り方によらないスカラーという性質がある。この２つはさらにガリレイ変換に対しても不変ある。運動状態を表す物理量もスカラーの性質があると便利なため、内積を使って仕事、エネルギーを定義したのだった。今考えている\(x^0,x^1,x^2,x^3\)の世界(ミンコフスキー時空)では質量くらいしかスカラーがなく、時間もベクトルになってしまった。古典力学の時間に代わるスカラーやエネルギーを再定義するためミンコフスキー空間の内積を定義しよう。

3次元空間\((x,y,z)\)では、点\(A(a_x,a_y,a_z)\)、点\(B(b_x,b_y,b_z)\)の２点間の距離\(d=AB\)は \[d^2=\boldsymbol{d}\cdot\boldsymbol{d}\] \[AB^2=(b_x-a_x)^2+(b_y-a_y)^2+(b_z-a_z)^2\] である。例えば\(x\)軸方向に\(x=Vt\)だけ離れた慣性系があったとしよう。その慣性系では点\(A'(a_x-Vt,a_y,a_z)\)、点\(B'(b_x-Vt,b_y,b_z)\)に見えるので \[AB'^2=((b_x-Vt)-(a_x-Vt))^2+(b_y-a_y)^2+(b_z-a_z)^2\] \[(b_x-a_x)^2+(b_y-a_y)^2+(b_z-a_z)^2=AB^2\] 同じように\(AB\)に見えている。 これと同じようにミンコフスキー空間\((x^0,x^1,x^2,x^3)\)の４次元でも距離を定義したい。ミンコフスキー空間の点\(A(a^0,a^1,a^2,a^3)\)、点\(B(b^0,b^1,b^2,b^3)\)の２点間の距離を \[\times\quad AB^2:=(b^0-a^0)^2+(b^1-a^1)^2+(b^2-a^2)^2+(b^3-a^3)^2\] としたいところだがこれは、良い定義ではない。ローレンツ変換に対して変わってしまう。別の座標から見ても同じ量になっていなければスカラーとは言えない。 \[AB^2:=-(b^0-a^0)^2+(b^1-a^1)^2+(b^2-a^2)^2+(b^3-a^3)^2\] このようにするべきである。ローレンツ変換した慣性系から２点を見ると\(A'(\gamma a^0-\beta\gamma a^1,-\beta\gamma a^0+\gamma a^1,a^2,a^3)\)、\(B'(\gamma b^0-\beta\gamma b^1,-\beta\gamma b^0+\gamma b^1,b^2,b^3)\)であるから、 \[AB'^2=-\{(\gamma b^0-\beta\gamma b^1)-(\gamma a^0-\beta\gamma a^1)\}^2\] \[+\{(-\beta\gamma b^0+\gamma b^1)-(-\beta\gamma a^0+\gamma a^1)\}^2+(b^2-a^2)^2+(b^3-a^3)^2\] \[=-\gamma^2\{(b^0-a^0)-\beta(b^1-a^1)\}^2+\gamma^2\{-\beta(b^0-a^0)+(b^1-a^1)\}^2\] \[+(b^2-a^2)^2+(b^3-a^3)^2\] \[=-\gamma^2(1-\beta^2)(b^0-a^0)^2+\gamma^2(1-\beta^2)(b^1-a^1)^2\] \[+(b^2-a^2)^2+(b^3-a^3)^2\] \[=-(b^0-a^0)^2+(b^1-a^1)^2+(b^2-a^2)^2+(b^3-a^3)^2=AB^2\] 座標変換に依らない量をスカラー(内積)とするべきなのである。 時間軸の成分の２乗だけ負の符号にすることで、ミンコフスキー空間のどの慣性系からみても長さを不変にすることができる。基底ベクトルの内積は \[\boldsymbol{e}_0\cdot\boldsymbol{e}_0:=-1,\ \boldsymbol{e}_1\cdot\boldsymbol{e}_1:=1,\boldsymbol{e}_2\cdot\boldsymbol{e}_2:=1,\boldsymbol{e}_3\cdot\boldsymbol{e}_3:=1,\boldsymbol{e}_i\cdot\boldsymbol{e}_j:=0(i\neq j)\]と定義するとよさそうだ。ミンコフスキー空間のベクトル\(x^{\mu},y^{\mu}\) \[\sum_{\mu=0}^3x^\mu\boldsymbol{e}_\mu,\ \sum_{\mu=0}^3y^\mu\boldsymbol{e}_\mu\] の内積は、 \[\left(\sum_{\mu=0}^3x^\mu\boldsymbol{e}_\mu\right)\cdot\left(\sum_{\mu=0}^3y^\mu\boldsymbol{e}_\mu\right)=-x^0y^0+x^1y^1+x^2y^2+x^3y^3\] となる。しかし相対性理論ではこのような表記は一般的ではない。テンソルを使うのだ。一度丁寧に分配法則を使って内積を計算してみよう。 \[(x^0\boldsymbol{e}_0+x^1\boldsymbol{e}_1+x^2\boldsymbol{e}_2+x^3\boldsymbol{e}_3)\cdot (y^0\boldsymbol{e}_0+y^1\boldsymbol{e}_1+y^2\boldsymbol{e}_2+y^3\boldsymbol{e}_3)\] \[=\boldsymbol{e}_0\cdot\boldsymbol{e}_0x^0y^0 +\boldsymbol{e}_0\cdot\boldsymbol{e}_1x^0y^1 +\boldsymbol{e}_0\cdot\boldsymbol{e}_2x^0y^2 +\boldsymbol{e}_0\cdot\boldsymbol{e}_3x^0y^3\] \[+\boldsymbol{e}_1\cdot\boldsymbol{e}_0x^1y^0 +\boldsymbol{e}_1\cdot\boldsymbol{e}_1x^1y^1 +\boldsymbol{e}_1\cdot\boldsymbol{e}_2x^1y^2 +\boldsymbol{e}_1\cdot\boldsymbol{e}_3x^1y^3\] \[+\boldsymbol{e}_2\cdot\boldsymbol{e}_0x^2y^0 +\boldsymbol{e}_2\cdot\boldsymbol{e}_1x^2y^1 +\boldsymbol{e}_2\cdot\boldsymbol{e}_2x^2y^2 +\boldsymbol{e}_2\cdot\boldsymbol{e}_3x^2y^3\] \[+\boldsymbol{e}_3\cdot\boldsymbol{e}_0x^3y^0 +\boldsymbol{e}_3\cdot\boldsymbol{e}_1x^3y^1 +\boldsymbol{e}_3\cdot\boldsymbol{e}_2x^3y^2 +\boldsymbol{e}_3\cdot\boldsymbol{e}_3x^3y^3\] 基底の内積同士を計算する。 \[=-1\ x^0y^0+0\ x^0y^1+0\ x^0y^2+0\ x^0y^3\] \[+0\ x^1y^0+1\ x^1y^1+0\ x^1y^2+0\ x^1y^3\] \[+0\ x^2y^0+0\ x^2y^1+1\ x^2y^2+0\ x^2y^3\] \[+0\ x^3y^0+0\ x^3y^1+0\ x^3y^2+1\ x^3y^3\] 記念すべき2つ目のテンソルは、計量テンソル\(g_{\mu\nu}\)。 \[g_{00}=-1\quad g_{01}=0\quad g_{02}=0\quad g_{03}=0\] \[g_{10}=0\quad g_{11}=1\quad g_{12}=0\quad g_{13}=0\] \[g_{20}=0\quad g_{21}=0\quad g_{22}=1\quad g_{23}=0\] \[g_{30}=0\quad g_{31}=0\quad g_{32}=0\quad g_{33}=1\] この軽量テンソルを使うことで、 \[(x^0\boldsymbol{e}_0+x^1\boldsymbol{e}_1+x^2\boldsymbol{e}_2+x^3\boldsymbol{e}_3)\cdot (y^0\boldsymbol{e}_0+y^1\boldsymbol{e}_1+y^2\boldsymbol{e}_2+y^3\boldsymbol{e}_3)\] \[=g_{00}x^0y^0+g_{01}x^0y^1+g_{02}x^0y^2+g_{03}x^0y^3\] \[+g_{10}x^1y^0+g_{11}x^1y^1+g_{12}x^1y^2+g_{13}x^1y^3\] \[+g_{20}x^2y^0+g_{21}x^2y^1+g_{22}x^2y^2+g_{23}x^2y^3\] \[+g_{30}x^3y^0+g_{31}x^3y^1+g_{32}x^3y^2+g_{33}x^3y^3\] テンソルは\(\sum\)と相性が良い！ \[=\sum_{\nu=0}^{3}g_{0\nu}x^0y^{\nu}+\sum_{\nu=0}^{3}g_{1\nu}x^1y^{\nu}+\sum_{\nu=0}^{3}g_{2\nu}x^2y^{\nu}+\sum_{\nu=0}^{3}g_{3\nu}x^3y^{\nu}\] 内積(スカラー積)は次のように表せる。 \[\sum_{\mu=0}^3\sum_{\nu=0}^3g_{\mu\nu}x^\mu y^\nu=-x^0y^0+x^1y^1+x^2y^2+x^3y^3\] アインシュタインの縮約記法を使うと \[g_{\mu\nu}d^\mu d^\nu=-x^0y^0+x^1y^1+x^2y^2+x^3y^3\]

＊＊ミンコフスキー空間の内積＊＊

　ミンコフスキー空間のベクトル\(x^{\mu},y^{\mu}\)の内積は 計量テンソル \[g_{00}=-1\quad g_{01}=0\quad g_{02}=0\quad g_{03}=0\] \[g_{10}=0\quad g_{11}=1\quad g_{12}=0\quad g_{13}=0\] \[g_{20}=0\quad g_{21}=0\quad g_{22}=1\quad g_{23}=0\] \[g_{30}=0\quad g_{31}=0\quad g_{32}=0\quad g_{33}=1\] を使うことで、 \[g_{\mu\nu}x^{\mu}y^{\nu}=-x^0y^0+x^1y^1+x^2y^2+x^3y^3\] となる。

/*　余談

　添え字は\(\mu\)と\(\nu\)をよく使うがなんでもよい。 \[A^i,\ A^\mu\] でも添え字に数字を入れて意味のある量になり添え字自体にそこまで意味はない。 この添え字のおかげでテンソルや縮約が使えて、シンプルな表記ができている。シンプルだが何を表しているのかよくわからなくなることもある。4次元のベクトルなら4つの成分2階テンソルなら16個の成分なので書き出してみるとよい。それが一番の理解につながる。添え字が3つで決まる3階テンソルは\(4^3\)の成分があるが、2階テンソルまでで、テンソルの雰囲気をつかんでおこう。

終わり　*/