前回の続きである。今回は定義した物理量の解釈を見ていこう。まずは４元速度\(u^{\mu}\)を \[u^{\mu}:=\frac{dx^{\mu}}{d\tau}\] のように定義した。４元速度の\(0\)成分は、 \[u^0=\frac{dx^0}{d\tau}=\frac{cdt}{d\tau}\] 物体の速度を\(v\)とすると固有時\(d\tau=\sqrt{(cdt)^2-(vdt)^2}/c=\sqrt{1-(v/c)^2}dt\)なので、 \[u^0=\frac{c}{\sqrt{1-(v/c)^2}}\] である。古典力学では速度は \[v^x=\frac{dx}{dt},\ v^y=\frac{dy}{dt},\ v^z=\frac{dz}{dt},\ v^2=(v^x)^2+(v^y)^2+(v^z)^2\] であるので、\(1\)成分は、 \[u^1=\frac{dx^1}{d\tau}=\frac{dx}{dt}\frac{dt}{d\tau}\] \[u^1=\frac{v^x}{\sqrt{1-(v/c)^2}}\] 他の成分も同様で \[u^2=\frac{v^y}{\sqrt{1-(v/c)^2}},\ u^3=\frac{v^z}{\sqrt{1-(v/c)^2}}\] である。４元速度は、\(c\to\infty\)の極限で力学の速度に一致する。

＊＊4元速度その２＊＊

　４元速度\(u^{\mu}\)を古典力学の物理量を用いて書くと、 \[u^0=\frac{c}{\sqrt{1-(v/c)^2}},\ u^i=\frac{v^i}{\sqrt{1-(v/c)^2}}\quad(i=1,2,3)\] ４元速度\(u^\mu\)は速度\(v\)が光の速さに近づくと、無限に大きくなるため古典力学の速度\(v\)は光速を超えない。

４元運動量\(p^{\mu}\)は、 \[p^\mu:=mu^\mu\] のように定義したので３次元の物理量を使うと、 \[p^0=mu^0=\frac{mc}{\sqrt{1-(v/c)^2}}\] \[p^1=mu^1=\frac{mv^x}{\sqrt{1-(v/c)^2}}\] 同様に \[p^2=\frac{mv^y}{\sqrt{1-(v/c)^2}},\ p^3=\frac{mv^z}{\sqrt{1-(v/c)^2}}\] である。\(c\to\infty\)の極限で力学の運動量と一致する。4元力\(f^{\mu}\)は、 \[f^{\mu}:=\frac{dp^{\mu}}{d\tau}=m\frac{d^2x^{\mu}}{d\tau^2}\] のように定義した。ニュートン力学第２法則は、物体に力\(F\)を与え続ければ、速度\(v\)が無限に大きくなってしまう。質量のある物体の運動を考えるとき、光の速さを超えてしまってはいけいないので、古典力学の運動量\(p^x,p^y,p^z\)を４元運動量の空間成分\(p^1,p^2,p^3\)に置き換える。つまり \[F^x=\frac{dp^{1}}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{mv^x}{\sqrt{1-(v/c)^2}}\right)\] \[F^y=\frac{dp^{2}}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{mv^y}{\sqrt{1-(v/c)^2}}\right)\] \[F^z=\frac{dp^{3}}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{mv^z}{\sqrt{1-(v/c)^2}}\right)\] のようになる。これにより一定の力を与え続けても、物体の速度は光の速さを超えない。\(c\to\infty\)の極限で、古典力学の運動方程式と一致する。更に、4元力とは、 \[f^i=\frac{dp^{i}}{d\tau}=\frac{dt}{d\tau}\frac{dp^{i}}{dt}=\frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}\frac{dp^i}{dt}\quad(i=1,2,3)\] \[f^1=\frac{F^x}{\sqrt{1-(v/c)^2}},\ f^2=\frac{F^y}{\sqrt{1-(v/c)^2}},\ f^3=\frac{F^z}{\sqrt{1-(v/c)^2}}\] という関係になる。 \[f^\mu=\frac{dp^\mu}{d\tau}\] がローレンツ変換で形が変わらないため \[f^i=\frac{dp^i}{d\tau}\quad(i=1,2,3)\] 両辺に\(\sqrt{1-(v/c)^2}\)を掛ける。\(d\tau=\sqrt{1-(v/c)^2}dt\)より \[f^i\sqrt{1-(v/c)^2}=\frac{dp^i}{\sqrt{1-(v/c)^2}dt}\sqrt{1-(v/c)^2}\] \[F^{x}=\frac{dp^1}{dt},\ F^{y}=\frac{dp^2}{dt},\ F^{z}=\frac{dp^3}{dt}\] この関係式も慣性系にかかわらず成り立つ。つまり運動量\(p^x,p^y,p^z\)を４元運動量の空間成分\(p^1,p^2,p^3\)に置き換えることで古典力学の運動方程式も特殊相対性原理を満たす。

＊＊ニュートン力学第２法則の修正＊＊

　運動量\(\boldsymbol{p}=m\boldsymbol{v}\)を \[\boldsymbol{p}:=\frac{m\boldsymbol{v}}{\sqrt{1-(v/c)^2}}\] で再定義することで、運動方程式 \[\frac{d\boldsymbol{p}(\boldsymbol{x},t)}{dt}=\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x},t)\] は慣性系によらず成り立つ物理法則となる。

　これで、ローレンツ変換できる物理法則であり、\(c\to\infty\)でローレンツ変換\(\to\)ガリレイ変換、\(\frac{m\boldsymbol{v}}{\sqrt{1-(v/c)^2}}\to m\boldsymbol{v}\)になる。

　相対性理論でもエネルギーを考えることができる。古典力学では、真空中で相互作用を受けない物体のエネルギーは、 \[E=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m\{(v^x)^2+(v^y)^2+(v^z)^2\}\] で与えられる。両辺を時間で微分することで、 \[\frac{dE}{dt}=v^xm\frac{dv^x}{dt}+v^ym\frac{dv^y}{dt}+v^zm\frac{dv^z}{dt}=\boldsymbol{v}\cdot\frac{d\boldsymbol{p}}{dt}\tag{1}\] である。運動方程式の修正前はエネルギーはこのような関係にあった。

　４元速度の内積は、 \[g_{\mu\nu}u^{\mu}u^{\nu}=g_{\mu\nu}\frac{dx^{\mu}}{d\tau}\frac{dx^{\nu}}{d\tau}\] 固有時の定義\(-g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}=(cd\tau)^2\)を使うと、 \[g_{\mu\nu}u^{\mu}u^{\nu}=\frac{-c^2d\tau^2}{d\tau d\tau}=-c^2\] \[-(u^0)^2+(u^1)^2+(u^2)^2+(u^3)^2=-c^2\] ４元速度の内積は光の速さの２乗になる。\(t\)で微分すると、 \[-2u^0\frac{du^0}{dt}+2u^1\frac{du^1}{dt}+2u^2\frac{du^2}{dt}+2u^3\frac{du^3}{dt}=0\] ４元速度を\(v^x,v^y,v^z\)を使って表すと、 \[\frac{2}{\sqrt{1-(v/c)^2}}\left(c\frac{du^0}{dt}+v^x\frac{du^1}{dt}+v^y\frac{du^2}{dt}+v^z\frac{du^3}{dt}\right)=0\] \[u^0\frac{du^0}{dt}=u^1\frac{du^1}{dt}+u^2\frac{du^2}{dt}+u^3\frac{du^3}{dt}\] 質量\(m\)を掛ける。 \[cm\frac{du^0}{dt}=v^xm\frac{du^1}{dt}+v^ym\frac{du^2}{dt}+v^zm\frac{du^3}{dt}\] \[c\frac{dp^0}{dt}=v^x\frac{dp^1}{dt}+v^y\frac{dp^2}{dt}+v^z\frac{dp^3}{dt}=\boldsymbol{v}\cdot\frac{d\boldsymbol{p}}{dt}\] (1)式を当てはめると、 \[\frac{dE}{dt}=\frac{d(cp^0)}{dt}\] \[E=cp^0=\frac{mc^2}{\sqrt{1-(v/c)^2}}\] これが速度\(v\)が光速度\(c\)に十分に小さい場合エネルギーがどのように表せるか見てみよう。 \[E^2=m^2c^4\frac{1}{1-(v/c)^2}\] この式を初項\(m^2c^4\)、公比\((v/c)^2\)の数列の和とみると、 \[E^2=m^2c^4\{1+(v/c)^2+(v/c)^4+\cdots\}\] \[E^2=m^2c^4\left(1+\frac{1}{2}\left(\frac{v}{c}\right)^2\right)^2+m^2c^4\left(\frac{5}{4}(v/c)^4+\cdots\right)\] この式の\((v/c)^4\)以降の項を無視すると、 \[E^2\simeq m^2c^4\left(1+\frac{1}{2}\left(\frac{v}{c}\right)^2\right)^2\] \[E\simeq mc^2+\frac{1}{2}mv^2\] 光の速さより十分に速度\(v\)が小さいとき、物体の持つエネルギーは\(mc^2+\)運動エネルギーとみることができる。

＊＊質量とエネルギーの等価性＊＊

　真空中で相互作用を受けていない質量\(m\)の物体のエネルギー\(E\)は \[E=\frac{mc^2}{\sqrt{1-(v/c)^2}}\] で表せる。速度が\(v=0\)でも質量\(m\)の物体は静止エネルギー\(E=mc^2\)を持つ。

　４元力\(f^{\mu}\)の第０成分\(f^0\)についても古典力学の物理量を使って記述できる。 \[c\frac{dp^0}{dt}=\boldsymbol{v}\cdot\frac{d\boldsymbol{p}}{dt}=\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{F}\] \(\frac{dt}{d\tau}=\frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}\)を掛ける。 \[c\frac{dp^0}{dt}\frac{dt}{d\tau}=\frac{\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{F}}{\sqrt{1-(v/c)^2}}\] \[cf^0=\frac{\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{F}}{\sqrt{1-(v/c)^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}\frac{dE}{dt}\] 表記方法はいろいろある。空間上で測量できる物理量で時間成分の力を知れるのでに役に立つ。

＊＊４元力の空間成分上の物理量を使った表記＊＊

　４元力は次のように書き換えられる。 \[f^0=\frac{\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{F}}{c\sqrt{1-(v/c)^2}}\] \[f^1=\frac{F^x}{c\sqrt{1-(v/c)^2}}\] \[f^2=\frac{F^y}{c\sqrt{1-(v/c)^2}}\] \[f^3=\frac{F^z}{c\sqrt{1-(v/c)^2}}\]