/*　ローレンツ変換というものがあった。

\[\begin{pmatrix}x'^0\\x'^1\\x'^2\\x'^3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} L^0_{\ 0} x^0+L^0_{\ 1}x^1+L^0_{\ 2}x^2+L^0_{\ 3}x^3\\ L^1_{\ 0} x^0+L^1_{\ 1}x^1+L^1_{\ 2}x^2+L^1_{\ 3}x^3\\ L^2_{\ 0} x^0+L^2_{\ 1}x^1+L^2_{\ 2}x^2+L^2_{\ 3}x^3\\ L^3_{\ 0} x^0+L^3_{\ 1}x^1+L^3_{\ 2}x^2+L^3_{\ 3}x^3 \end{pmatrix}\] 例えば、慣性系\(K(x^0,x^1,x^2,x^3)\)から見て、軸方向に速度\(V\)で動く座標系\(K'(x'^0,x'^1,x'^2,x'^3)\)は、 \[\begin{pmatrix}x'^0\\x'^1\\x'^2\\x'^3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \gamma x^0-\beta\gamma x^1+0\ x^2+0\ x^3\\ -\beta\gamma x^0+\gamma x^1+0\ x^2+0\ x^3\\ 0\ x^0+0\ x^1+1\ x^2+0\ x^3\\ 0\ x^0+0\ x^1+0\ x^2+1\ x^3 \end{pmatrix}\tag{1}\] \[\beta=\frac{V}{c},\ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\] 逆変換は慣性系\(K'(x'^0,x'^1,x'^2,x'^3)\)から見て、軸方向に速度\(-V\)で動く座標系\(K(x^0,x^1,x^2,x^3)\)は、\(\beta\)の符号を変えて \[\begin{pmatrix}x^0\\x^1\\x^2\\x^3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \gamma x'^0+\beta\gamma x'^1+0\ x'^2+0\ x'^3\\ \beta\gamma x'^0+\gamma x'^1+0\ x'^2+0\ x'^3\\ 0\ x'^0+0\ x'^1+1\ x'^2+0\ x'^3\\ 0\ x'^0+0\ x'^1+0\ x'^2+1\ x'^3 \end{pmatrix}\tag{2}\] のように表せる。

終わり*/

　4元ベクトルの内積は、 \[g_{\mu\nu}x^{\mu}y^{\nu}=-x^0y^0+x^1y^1+x^2y^2+x^3y^3\] であるが、 \[x_{\mu}:=\begin{pmatrix}-x^0\\x^1\\x^2\\x^3\end{pmatrix},\ y_{\mu}:=\begin{pmatrix}-y^0\\y^1\\y^2\\y^3\end{pmatrix}\] のようなベクトルを定義すれば、内積は、 \[g_{\mu\nu}x^{\mu}y^{\nu}=x_0y^0+x_1y^1+x_2y^2+x_3y^3=x_\mu y^\mu\] あるいは、 \[g_{\mu\nu}x^{\mu}y^{\nu}=x^0y_0+x^1y_1+x^2y_2+x^3y_3=x^\mu y_\mu\] のように計量テンソルを使わずに内積を表せる。\(x_\mu,\ y_\mu\)を一次形式と呼ぶ。ちょっとトリッキーな書き方をすると、 \[\begin{pmatrix}x_0\\x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\ x^0+0\ x^1+0\ x^2+0\ x^3\\0\ x^0+1\ x^1+0\ x^2+0\ x^3\\0\ x^0+0\ x^1+1\ x^2+0\ x^3\\0\ x^0+0\ x^1+0\ x^2+1\ x^3\end{pmatrix}\] であるから、計量テンソル\(g_{\mu\nu}\)を使って、 \[\begin{pmatrix}x_0\\x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}g_{00}x^0+g_{01}x^1+g_{02}x^2+g_{03}x^3\\g_{10}x^0+g_{11}x^1+g_{12}x^2+g_{13}x^3\\g_{20}x^0+g_{21}x^1+g_{22}x^2+g_{23}x^3\\g_{30}x^0+g_{31}x^1+g_{32}x^2+g_{33}x^3\end{pmatrix}\] 縮約記法を使うと、 \[\begin{pmatrix}x_0\\x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}g_{0\nu}x^\nu\\g_{1\nu}x^\nu\\g_{2\nu}x^\nu\\g_{3\nu}x^\nu\end{pmatrix}\] つまり、 \[x_\mu=g_{\mu\nu}x^{\nu}\] 一次形式\(x_\mu\)を使うことで、計量テンソル\(g_{\mu\nu}\)を使わずに内積を表現できると書いたが、一次形式に計量テンソルが含まれている。

＊＊一次形式＊＊

　一次形式\(x_{\mu}\)を \[x_{\mu}:=\begin{pmatrix}-x^0\\x^1\\x^2\\x^3\end{pmatrix}\] と定義することで、ベクトルの内積は、 \[g_{\mu\nu}x^{\mu}y^{\nu}=x^\mu y_\mu=x_{\mu}y^{\mu}\] と表せる。

　一次形式にはもう一つうれしい性質がある。ベクトルの内積は、 \[x^{\mu}x_{\mu}\] ローレンツ変換に依らないので、 \[x'_{\mu}x'^{\mu}=x'_0x'^0+x'_1x'^1+x'_2x'^2+x'_3x'^3\] \[=x_0x^0+x_1x^1+x_2x^2+x_3x^3=x_{\mu}x^{\mu}\] とならなければいけいない。ベクトルのローレンツ変換は\(x'^{\mu}=L_{\ \nu}^{\mu}x^{\nu}\)なので、 \[x'^{\mu}x'_{\mu}=x'_0x'^0+x'_1x'^1+x'_2x'^2+x'_3x'^3\] \[=x'_0(L^{0}_{\ 0}x^0+L^{0}_{\ 1}x^1+L^{0}_{\ 2}x^2+L^{0}_{\ 3}x^3)\] \[+x'_1(L^{1}_{\ 0}x^0+L^{1}_{\ 1}x^1+L^{1}_{\ 2}x^2+L^{1}_{\ 3}x^3)\] \[+x'_2(L^{2}_{\ 0}x^0+L^{2}_{\ 1}x^1+L^{2}_{\ 2}x^2+L^{2}_{\ 3}x^3)\] \[+x'_3(L^{3}_{\ 0}x^0+L^{3}_{\ 1}x^1+L^{3}_{\ 2}x^2+L^{3}_{\ 3}x^3)\] 並び変えると、 \[=(L^{0}_{\ 0}x'_0+L^{1}_{\ 0}x'_1+L^{2}_{\ 0}x'_2+L^{3}_{\ 0}x'_3)x^0\] \[+(L^{0}_{\ 1}x'_0+L^{1}_{\ 1}x'_1+L^{2}_{\ 1}x'_2+L^{3}_{\ 1}x'_3)x^1\] \[+(L^{0}_{\ 2}x'_0+L^{1}_{\ 2}x'_1+L^{2}_{\ 2}x'_2+L^{3}_{\ 2}x'_3)x^2\] \[+(L^{0}_{\ 3}x'_0+L^{1}_{\ 3}x'_1+L^{2}_{\ 3}x'_2+L^{3}_{\ 3}x'_3)x^3\] 縮約を使うと、 \[L^{\nu}_{\ 0}x'_{\nu}x^0+L^{\nu}_{\ 1}x'_{\nu}x^1+L^{\nu}_{\ 2}x'_{\nu}x^2+L^{\nu}_{\ 3}x'_{\nu}x^3\] \[=L^{\nu}_{\ \mu}x'_{\nu}x^{\mu}=x^{\mu}x_{\mu}\] つまり、 \[L^{\nu}_{\ \mu}x'_{\nu}=x_{\mu}\] 一次形式は逆変換でなくてはならない。

＊＊一次形式のローレンツ変換＊＊

　ベクトル\(x^\mu\)が、 \[x'^{\mu}=L_{\ \nu}^{\mu}x^{\nu}\] と変換されるなら、一次形式\(x_\mu\)は、 \[L_{\ \nu}^{\mu}x'_{\mu}=x^{\nu}\] のように逆に変換される。

　ベクトル\(x'^{\mu}\)が変換前のベクトル\(x^{\mu}\)の関数になっていた場合、微小量\(dx'^{\mu}\)の前微分は、 \[dx'^{\mu}=\frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^0}dx^0+\frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^1}dx^1+\frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^2}dx^2+\frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^3}dx^3\] である。これも縮約をとると、 \[dx'^{\mu}=\frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^\nu}dx^\nu\tag{3}\] 微小量のローレンツ変換は、 \[dx'^{\mu}=L^{\mu}_{\ \nu}dx^\nu\] なので、\(L_{\ \nu}^{\mu}=\partial x'^{\mu}/\partial x^{\nu}\)である。微分の演算は \[\frac{\partial}{\partial x^{\nu}}=\frac{\partial x'^0}{\partial x^{\nu}}\frac{\partial}{\partial x'^{0}}+\frac{\partial x'^1}{\partial x^{\nu}}\frac{\partial}{\partial x'^{1}}+\frac{\partial x'^2}{\partial x^{\nu}}\frac{\partial}{\partial x'^{2}}+\frac{\partial x'^3}{\partial x^{\nu}}\frac{\partial}{\partial x'^{3}}\] \[\frac{\partial x'^\mu}{\partial x^{\nu}}\frac{\partial}{\partial x'^{\mu}}=\frac{\partial}{\partial x^{\nu}}\] \[L_{\ \nu}^\mu\frac{\partial}{\partial x'^{\mu}}=\frac{\partial}{\partial x^{\nu}}\] なんと\(dx^\mu\)と逆の変換を受ける。一次形式の微小量は \[L^{\mu}_{\ \nu}dx'_{\mu}=dx_\nu\] のように逆変換を受けるので、\(L^{\mu}_{\ \nu}=\partial x_{\nu}/\partial x'_{\mu}\)微分演算は、 \[\frac{\partial}{\partial x'_{\mu}}=\frac{\partial x_\nu}{\partial x'_{\mu}}\frac{\partial}{\partial x_{\nu}}\] \[\frac{\partial}{\partial x'_{\mu}}=L^{\mu}_{\ \nu}\frac{\partial}{\partial x_{\nu}}\] 通常のローレンツ変換を受ける。

＊＊偏微分のローレンツ変換＊＊

　ベクトル\(x^\mu\)が、 \[x'^{\mu}=L_{\ \nu}^{\mu}x^{\nu}\] と変換されるなら、ベクトル\(x^{\mu}\)の偏微分は \[L_{\ \nu}^\mu\frac{\partial}{\partial x'^{\mu}}=\frac{\partial}{\partial x^{\nu}}\] 逆変換になり、一次形式\(x_\mu\)の偏微分は \[\frac{\partial}{\partial x'_{\mu}}=L^{\mu}_{\ \nu}\frac{\partial}{\partial x_{\nu}}\] 通常の変換を受ける。