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ローレンツ力のローレンツ不変性
表題は親父ギャグではありません。同じ人が由来なのです。今回計算がきついですな。符号がミスってたりしたらすいません。注意してください。
/*補足
速度、力を使って4元速度、4元力を表すことができた。
終わり*/
電場磁束密度がある空間で、速度で動く電気量の電荷にはたらく力はローレンツ力といい、
のように表せる。この式を4元力を使って表してみよう。
まずは第0成分から
とは垂直なので、、4元速度を使い、
4元力の空間成分を求める。
4元力は
この式の一般的なローレンツ変換は容易ではない。今はローレンツ力における電場、磁束密度が特殊相対性原理を満たさない確認がしたいだけなので、いつも通り軸方向に速度で動いうている系にローレンツ変換することを考えよう。全ての成分の計算は大変なので今回は成分の4元力を計算してみる。
逆ローレンツ変換を使うと、、、は変わらないので、
つまり、
特殊相対性原理を満たすためには、電場と磁場が不自然なローレンツ変換をしなくてはならない。そこで、スカラーポテンシャル、ベクトルポテンシャルを使ってみよう。
なので、
電磁ベクトルポテンシャルを次のように定義する。
4元ベクトルを使いさらに偏微分をと書くことにする、
一次形式の偏微分をと書くことにする。に注意すると、
これをローレンツ力の(1)式に代入すると、
を一次形式で書くと、規則性が見えてくる。
0成分に、1成分に、2成分に、3成分にを足して縮約を取ると、
以上よりローレンツ力は
である。ローレンツ力のローレンツ変換は、
これが得たかった式である。は変換後の慣性系の速度のみに依存する量なので、
微分の中になっても外にあっても好きにして大丈夫だが、電磁ベクトルポテンシャルはベクトル場なので、微分と順番を変えることはできない。
この方程式が特殊相対性原理を満たすための電磁ベクトルポテンシャルのローレンツ変換はである。
は一次形式なので逆変換を受ける。
慣性系によらず同じ形を保っているため、特殊相対性原理を満たす。
**電磁ベクトルポテンシャルのローレンツ変換**
ミンコフスキー空間の位置ベクトルが、のようにローレンツ変換されるなら、電磁ベクトルポテンシャルも
のようにローレンツ変換される。
**ローレンツ力のローレンツ変換**
電気量の電荷が、受けるローレンツ力は4元力、4元速度電磁ポテンシャルを使い、
のように表せる。電磁ポテンシャルのローレンツ変換は位置ベクトルのローレンツ変換と同様であり、ローレンツ力は慣性系に依らず同じ法則で表せる。
/* 補足
添え字が1つのみの方程式であれば、特殊相対性原理を満たすかの確認はかんたんである。
が成り立つためには、だから
つまり、変換前、変換後で同じ方程式が成り立つ必要がある。
添え字が2つ以上ある方程式の場合も、さっきのようにローレンツ変換できるのだが最低でも16項でてくるので計算が大変である。そこでがスカラーになるので、のように、座標変換に依らないことを利用しよう。
下線を引いたところはローレンツ変換で不変なので、
という方法もある。
終わり*/