今回は３つ目のテンソル、電磁場テンソル\(F^{\mu\nu}\)を解説しよう。電磁場テンソルのおかげで新しい発見があったり、新しい法則が導けたりするわけではない。表記がシンプルでかっこいい。(こんなことを言ったら怒られそうだが、)番外編くらいの気持ちで見ていればよいと思う。電荷\(q\)にはたらくローレンツ力は、 \[f^{\mu}=q(\partial^{\mu}A^{\nu}-\partial^{\nu}A^{\mu})u_{\nu}\] のように表せる。この式の\(\partial^{\mu}A^{\nu}-\partial^{\nu}A^{\mu}\)の部分である。電磁場テンソル\(F^{\mu\nu}\)を \[F^{\mu\nu}:=\partial^{\mu}A^{\nu}-\partial^{\nu}A^{\mu}\] で定義する。計量テンソル\(g_{\mu\nu}\)やローレンツ変換\(L^{\mu}_{\ \nu}\)は運動を記述する関数を含まない１６個の定数の組であるのに対して今回の電磁場テンソルは、物体の運動にかかわる変数を含んでいる。つまり、１６個の関数の組である。微分の記号との交換ができない点に注意が必要だ。 \[g_{\mu\nu}\partial^{\alpha}=\partial^{\alpha}g_{\mu\nu},\ L^{\mu}_{\nu}\partial^{\alpha}=\partial^{\alpha}L^{\mu}_{\nu}\] のような交換ができるが、電磁場は関数なので電磁場テンソルも \[\partial^{\alpha}F^{\mu\nu}\neq F^{\mu\nu}\partial^{\alpha}\] である。ローレンツ力は \[f^{\mu}=qF^{\mu\nu}u_{\nu}\] のように表せる。今回はローレンツゲージを使わずにマクスウェル方程式を求めよう。スカラーポテンシャル、ベクトルポテンシャルを使ったマクスウェル方程式は、 \[\left(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\boldsymbol{A}-\nabla\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t}+\nabla\cdot\boldsymbol{A}\right)=-\mu_0\boldsymbol{j}\tag{1}\] \[\left(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\frac{\phi}{c}+\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t}+\nabla\cdot\boldsymbol{A}\right)=-\mu_0c\rho\tag{2}\] である。(1)式の\(x\)成分は \[\partial_{\mu}\partial^{\mu} A^1-\partial_1(\partial_{\mu}A^{\mu})=-\mu_0j^1\] 微分の順番を変えると \[\partial_{\mu}\partial^{\mu} A^1-\partial_{\mu}(\partial_{1}A^{\mu})=-\mu_0j^1\] \[\partial_{\mu}(\partial^{\mu} A^1-\partial_1A^{\mu})=-\mu_0j^1\] \(\partial_1=\partial^1\)添え字なので、電磁場ポテンシャルを使って、 \[\partial_{\mu}F^{\mu1}=-\mu_0j^1\] \(y,z\)成分も同様にすると、 \[\partial_{\mu}F^{\mu2}=-\mu_0j^2,\ \partial_{\mu}F^{\mu3}=-\mu_0j^3\] が得られる。(2)式は\(\phi/c=A^0,\ c\rho=j^0\)とすると、 \[\partial_{\mu}\partial^{\mu}A^0+\partial_0(\partial_{\mu}A^{\mu})=-\mu_0j^0\] \(\partial_0=-\partial^0\)なので、 \[\partial_{\mu}\partial^{\mu}A^0-\partial^0(\partial_{\mu}A^{\mu})=-\mu_0j^0\] \[\partial_{\mu}\partial^{\mu}A^0-\partial_{\mu}(\partial^{0}A^{\mu})=-\mu_0j^0\] \[\partial_{\mu}(\partial^{\mu}A^0-\partial^{0}A^{\mu})=-\mu_0j^0\]電磁ポテンシャルを使うと、 \[\partial_{\mu}F^{\mu0}=-\mu_0j^0\] 以上からマクスウェル方程式は、 \[\partial_{\mu}F^{\mu\nu}=-\mu_0j^{\nu}\] これはシンプル！(物理的意味が一切くみ取れないが) 電磁場テンソルのローレンツ変換は \[F'^{\mu\nu}=\partial'^{\mu}A'^{\nu}-\partial'^{\nu}A'^{\mu}\] \[=L^{\mu}_{\ \alpha}\partial^{\alpha}L^{\nu}_{\ \beta}A^{\beta}-L^{\nu}_{\ \beta}\partial^{\beta}L^{\mu}_{\ \alpha}A^{\alpha}\] \[=L^{\mu}_{\ \alpha}L^{\nu}_{\ \beta}(\partial^{\alpha}A^{\beta}-\partial^{\beta}A^{\alpha})\] \[F'^{\mu\nu}=L^{\mu}_{\ \alpha}L^{\nu}_{\ \beta}F^{\alpha\beta}\] のようにローレンツ変換できるこれを用いてローレンツ力、マクスウェル方程式が特殊相対性原理を満たしているか確かめよう。まずはローレンツ力から \[f'^{\mu}=qF'^{\mu\nu}u'_{\nu}\] \[L^{\mu}_{\ \alpha}f^{\alpha}=qL^{\mu}_{\ \alpha}F^{\alpha\beta}L^{\nu}_{\ \beta}u'_{\nu}\] \(u'_{\nu}\)は逆変換なので、\(u_{\beta}=L^{\nu}_{\beta}u'_{\nu}\) \[L^{\mu}_{\ \alpha}f^{\alpha}=L^{\mu}_{\ \alpha}qF^{\alpha\beta}u_{\beta}\] \[f^{\alpha}=F^{\alpha\beta}u_{\beta}\] 次はマクスウェル方程式 \[\partial'_{\mu}F'^{\mu\nu}=-\mu_0j'^{\nu}\] \[\partial'_{\mu}L^{\mu}_{\ \alpha}L^{\nu}_{\ \beta}F^{\alpha\beta}=-\mu_0L^{\nu}_{\ \beta}j^{\beta}\] \(\partial'_\mu\)も逆変換なので、\(\partial_\alpha=L^{\mu}_{\ \alpha}\partial'_\mu\) \[L^{\nu}_{\ \beta}\partial_{\alpha}F^{\alpha\beta}=-L^{\nu}_{\ \beta}\mu_0j^{\beta}\] \[\partial_{\alpha}F^{\alpha\beta}=-\mu_0j^{\beta}\] こちらも相対性原理を満たしている。

＊＊電磁場テンソルを用いた電磁気の法則＊＊

　電磁場テンソルを\(F^{\mu\nu}:=\partial^{\mu}A^{\nu}-\partial^{\nu}A^{\mu}\)のように定義することで、ローレンツ力は \[f^{\mu}=F^{\mu\nu}u_{\nu}\] のように表され、慣性系に依らず成り立つ。マクスウェル方程式は \[\partial_{\mu}F^{\mu\nu}=-\mu_0j^{\nu}\] のように表され、慣性系に依らず成り立つ。

/*　補足

　４元ベクトルポテンシャルや電磁場ポテンシャルを使った表記はローレンツ変換不変性であることが見てわかる、４元的にみることで、１つの法則で記述できる。この２点でとてもよくできている。実用上は\(\boldsymbol{B},\boldsymbol{E}\)の４本のマクスウェル方程式が物理的な意味も分かりやすい。

終わり*/